Seja
B=\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 1 & 4 \\\\ 5 & 6 & 0 \end{array}\right)
Calcule \operatorname{adj}(B) e verifique que \operatorname{adj}(B) B=\operatorname{det}(B) I.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a matriz adjunta de
B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 0 & 1 & 4\\\\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}
e verificar que
\operatorname{adj}(B)\,B = \det(B)\,I.
Nós vamos usar o método de menores e cofatores para achar \operatorname{adj}(B) (que é a transposta da matriz de cofatores) e depois multiplicar por B.

Passo 2

Primeiro, calculemos \det(B) usando a expansão pela primeira linha:
\det(B) =1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 4\\\ 6 & 0\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 4\\\ 5 & 0\end{pmatrix} +3\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 1\\\ 5 & 6\end{pmatrix}.
Calculando cada menor:
\det\begin{pmatrix}1 & 4\\\ 6 & 0\end{pmatrix}=-24,\quad \det\begin{pmatrix}0 & 4\\\ 5 & 0\end{pmatrix}=-20,\quad \det\begin{pmatrix}0 & 1\\\ 5 & 6\end{pmatrix}=-5.
Logo
\det(B) =1\cdot(-24)-2\cdot(-20)+3\cdot(-5) =-24+40-15=1.

Passo 3

Agora montamos a matriz de cofatores C=(C_{ij}), onde
C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}),
e M_{ij} é o menor de B obtido removendo a linha i e a coluna j. Calculando todos os cofatores:
C = \begin{pmatrix} -24 & 20 & -5\\\\ 18 & -15 & 4\\\\ 5 & -4 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

A adjunta é a transposta de C:
\operatorname{adj}(B) = C^{T} = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5\\\\ 20 & -15 & -4\\\\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Finalmente, multipliquemos \operatorname{adj}(B) por B:
\operatorname{adj}(B)\,B = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5\\\\ 20 & -15 & -4\\\\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 0 & 1 & 4\\\\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot I,
o que confirma \operatorname{adj}(B)\,B=\det(B)\,I.

Resposta

\operatorname{adj}(B) = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5\\\\ 20 & -15 & -4\\\\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix},
e de fato \operatorname{adj}(B)\,B=\det(B)\,I=I.

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