Calcule a matriz adjunta de
A=\left(\begin{array}{ll} 2 & 3 \\\\ 1 & 4 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede a matriz adjunta (ou adjugata) de
A = \begin{pmatrix}2 & 3 \\\\ 1 & 4\end{pmatrix}.
Para isso, vamos usar a definição: a matriz adjunta de A, denotada \mathrm{adj}(A), é a transposta da matriz de cofatores de A.

Passo 2

Primeiro, calculamos os menores e cofatores de A. O menor M_{ij} é o determinante da submatriz que sobra ao eliminar a linha i e a coluna j, e o cofator C_{ij} é
C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}.
  • Para i=1,j=1: a submatriz é \bigl[4\bigr], então M_{11}=4 e C_{11} = (-1)^{1+1}\,4 = 4.
  • Para i=1,j=2: a submatriz é \bigl[1\bigr], então M_{12}=1 e C_{12} = (-1)^{1+2}\,1 = -1.
  • Para i=2,j=1: a submatriz é \bigl[3\bigr], então M_{21}=3 e C_{21} = (-1)^{2+1}\,3 = -3.
  • Para i=2,j=2: a submatriz é \bigl[2\bigr], então M_{22}=2 e C_{22} = (-1)^{2+2}\,2 = 2.
Assim, a matriz de cofatores é
C = \begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} \\[0.3em] C_{21} & C_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\[0.3em] -3 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 3

A matriz adjunta \mathrm{adj}(A) é a transposta de C:
\mathrm{adj}(A) = C^{T} = \begin{pmatrix} 4 & -3 \\\\ -1 & 2 \end{pmatrix}.

Resposta

\mathrm{adj}(A) = \begin{pmatrix} 4 & -3 \\\\ -1 & 2 \end{pmatrix}.

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