Seja B=p0, p1, ldots, pk um conjunto de polinômios tais que o grau de pi é igual a i, para cada i=0, ldots, k. Mostre que B é uma base do espaço dos polinômios de grau menor ou igual a k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o conjunto é uma base do espaço dos polinômios de grau menor ou igual a . Estamos trabalhando com Álgebra Linear, especificamente com conceitos de bases e espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar verificar duas coisas principais: se os polinômios em são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço dos polinômios de grau até .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser uma base. Uma base de um espaço vetorial precisa satisfazer dois requisitos:
  1. Linearmente Independente: Nenhum polinômio do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros.
  2. Gerar o Espaço: Qualquer polinômio de grau até pode ser escrito como combinação linear dos polinômios da base.

Passo 3

Vamos começar verificando a linearidade independente. Suponha que exista uma combinação linear dos polinômios em a0 p0 + a1 p1 + ldots + ak pk = 0 que resulte no polinômio zero:
Como cada tem grau e são distintos, a única solução para essa equação é que todos os coeficientes sejam zero. Isso significa que os polinômios em são linearmente independentes.

Passo 4

Agora, vamos verificar se p = b0 p0 + b1 p1 + ldots + bk pk gera o espaço dos polinômios de grau até . Qualquer polinômio de grau pode ser escrito como:
Onde os coeficientes são os coeficientes de quando expresso em termos da base . Isso mostra que qualquer polinômio no espaço pode ser alcançado através de uma combinação linear dos polinômios em .

Resposta

Portanto, o conjunto é de fato uma base do espaço dos polinômios de grau menor ou igual a .

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