Seja
um conjunto de polinômios tais que o grau de
é igual a
, para cada
. Mostre que
é uma base do espaço dos polinômios de grau menor ou igual a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o conjunto
é uma base do espaço dos polinômios de grau menor ou igual a
. Estamos trabalhando com Álgebra Linear, especificamente com conceitos de bases e espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar verificar duas coisas principais: se os polinômios em
são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço dos polinômios de grau até
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser uma base. Uma base de um espaço vetorial precisa satisfazer dois requisitos:
- Linearmente Independente: Nenhum polinômio do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros.
- Gerar o Espaço: Qualquer polinômio de grau até
pode ser escrito como combinação linear dos polinômios da base.
Passo 3
Vamos começar verificando a linearidade independente. Suponha que exista uma combinação linear dos polinômios em
que resulte no polinômio zero:
Como cada
tem grau
e são distintos, a única solução para essa equação é que todos os coeficientes
sejam zero. Isso significa que os polinômios em
são linearmente independentes.
Passo 4
Agora, vamos verificar se
gera o espaço dos polinômios de grau até
. Qualquer polinômio
de grau
pode ser escrito como:
Onde os coeficientes
são os coeficientes de
quando expresso em termos da base
. Isso mostra que qualquer polinômio no espaço pode ser alcançado através de uma combinação linear dos polinômios em
.
Resposta
Portanto, o conjunto
é de fato uma base do espaço dos polinômios de grau menor ou igual a
.