Seja C(s)=K \bar{C}(s), M(s)=1, G(s)=\frac{s+1}{s^{2}+23 s+120} e H(s)=1.
a) Defina um controlador \bar{C}(s) de modo que o erro em regime estacionário seja nulo para uma entrada do tipo rampa.
b) Determine a faixa de valores estabilizantes para K.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes funções de transferência:
  • C(s)=K\,\bar{C}(s).
  • M(s)=1.
  • G(s)=\dfrac{s+1}{s^{2}+23s+120}.
  • H(s)=1 (realimentação unitária).
O que se pede:
(a) Definir um controlador \bar{C}(s) tal que o erro em regime estacionário seja nulo para uma entrada do tipo rampa (entrada r(t)=t, cuja transformada é R(s)=1/s^{2}).
(b) Determinar a faixa de valores de K que estabilizam o sistema em malha fechada.
Informações úteis que vamos usar:
  • Para realimentação unitária, a função de malha aberta é L(s)=C(s)M(s)G(s)=C(s)G(s).
  • Para entrada rampa, a fórmula padrão é: o erro em regime estacionário para rampa é e_{\infty}=\dfrac{1}{K_v}, onde K_v=\lim_{s\to0}sL(s). Se K_v=\infty então e_{\infty}=0.
  • A “type” do sistema é o número de polos integradores (fatores 1/s) em L(s) na origem: type 0 não tem integradores, type 1 tem um integrador, type 2 tem dois integradores, etc. Para rampa com erro nulo é necessário sistema de type \ge2 (especificamente type 2 dá e_{\infty}=0).
  • Para estabilidade em malha fechada, vamos construir o polinômio característico e aplicar o critério de Routh–Hurwitz.

Passo 2

Entender por que precisamos de dois integradores para rampa (aula rápida e concreta).
  • Começo pelo princípio do erro em regime estacionário via Teorema do Valor Final: para o erro e(t) em malha fechada,
e_{\infty}=\lim_{t\to\infty} e(t)=\lim_{s\to0} sE(s).
  • Para realimentação unitária, E(s)=\dfrac{R(s)}{1+L(s)}. Para entrada rampa R(s)=\dfrac{1}{s^{2}}. Então
e_{\infty}=\lim_{s\to0} s\cdot \dfrac{1/s^{2}}{1+L(s)}=\lim_{s\to0}\dfrac{1}{s(1+L(s))}.
  • Se L(s) tende para um valor finito quando s\to0, o denominador tem s e o limite é infinito (erro infinito) — type 0 falha.
  • Se L(s) tem um integrador (comportamento \sim 1/s para s\to0), então sL(s) tende a uma constante finita K_v e e_{\infty}=1/K_v (type 1 dá erro finito, não nulo, para rampa).
  • Se L(s) tem dois integradores (comportamento \sim 1/s^{2}), então sL(s)\sim 1/s diverge para +\infty e então e_{\infty}=0.
Conclusão didática: para que o erro em regime estacionário seja nulo para rampa, a malha aberta L(s) deve ter pelo menos dois polos em s=0 (ser type 2). Assim o controlador precisa fornecer os integradores necessários.

Passo 3

Escolha concreta do controlador \bar{C}(s).
  • O enunciado impõe C(s)=K\,\bar{C}(s). A forma mais simples que garante dois integradores é escolher
\bar{C}(s)=\dfrac{1}{s^{2}}.
  • Então o controlador completo fica
C(s)=K\,\dfrac{1}{s^{2}}=\dfrac{K}{s^{2}}.
  • Verificação formal pelo cálculo de K_v:
L(s)=C(s)G(s)=\dfrac{K}{s^{2}}\cdot\dfrac{s+1}{s^{2}+23s+120}=\dfrac{K(s+1)}{s^{2}\,(s^{2}+23s+120)}.
K_v=\lim_{s\to0}sL(s)=\lim_{s\to0}\dfrac{K(s+1)}{s\,(s^{2}+23s+120)}.
Ao fazer s\to0 no denominador aparece s\cdot 120\to 0, enquanto o numerador tende a K. Logo K_v=+\infty. Pelo raciocínio do passo anterior, isso implica
e_{\infty}= \frac{1}{K_v}=0.
  • Comentário prático: poderíamos multiplicar \bar{C}(s) por qualquer ganho estável (por exemplo um polinômio sem polos em s=0), mas a escolha mais simples e direta pedagógica é \bar{C}(s)=1/s^{2}.

Passo 4

Agora vamos determinar a faixa de K que estabiliza o sistema em malha fechada. Montagem do polinômio característico e aplicação do critério de Routh.
  • A equação característica é 1+L(s)=0. Com L(s)=\dfrac{K(s+1)}{s^{2}(s^{2}+23s+120)} temos, multiplicando:
s^{2}(s^{2}+23s+120)+K(s+1)=0.
  • Expandindo o primeiro termo:
s^{2}(s^{2}+23s+120)=s^{4}+23s^{3}+120s^{2}.
  • Portanto o polinômio característico em forma padrão é
P(s)=s^{4}+23s^{3}+120s^{2}+K s + K.
  • Vamos aplicar o critério de Routh. Montamos a tabela de Routh para P(s).
Escrevendo a primeira coluna e calculando cada elemento passo a passo:
Linha s^{4}: coeficientes 1,\;120,\;K.
Linha s^{3}: coeficientes 23,\;K,\;0.
Para a linha s^{2} o primeiro elemento é
A=\dfrac{23\cdot 120 - 1\cdot K}{23}=\dfrac{2760-K}{23}.
O segundo elemento dessa linha (útil para completar tabela) é
B=\dfrac{23\cdot K - 1\cdot 0}{23}=K.
Para a linha s^{1} o primeiro elemento é
C=\dfrac{A\cdot K - 23\cdot B}{A}.
Substituindo A e B e simplificando cuidadosamente:
C=K\cdot\dfrac{A-23}{A} =K\cdot\dfrac{\dfrac{2760-K}{23}-23}{\dfrac{2760-K}{23}} =K\cdot\dfrac{2760-K-529}{2760-K} =K\cdot\dfrac{2231-K}{2760-K}.
A última linha s^{0} tem o elemento
D=K
(vem da fórmula padrão quando a tabela é completada).
  • Condições de estabilidade pelo critério de Routh: todos os elementos da primeira coluna devem ser estritamente positivos. Esses elementos são, em ordem:
1,\quad 23,\quad A=\dfrac{2760-K}{23},\quad C=K\cdot\dfrac{2231-K}{2760-K},\quad D=K.
Já sabemos 1>0 e 23>0. As condições não-triviais são:
  1. A>0 \Rightarrow 2760-K>0 \Rightarrow K<2760.
  2. D>0 \Rightarrow K>0.
  3. C>0. Observe que o denominador de C é 2760-K; como já exigimos K<2760, esse denominador é positivo. Assim o sinal de C depende do numerador K(2231-K). Para K>0 precisamos ainda 2231-K>0\Rightarrow K<2231.
  • Juntando todas as desigualdades:
K>0\quad\text{e}\quad K<2231.
A condição K<2760 já está satisfeita por K<2231, então a faixa final de estabilidade em malha fechada é
0<K<2231.

Passo 5

Observações finais e casos limites:
  • Para K=0 o polinômio característico torna-se s^{2}(s^{2}+23s+120), que possui dois polos na origem (marginalmente estável), portanto K=0 não é um valor estabilizante estrito.
  • Para K=2231 aparece uma mudança de sinal na tabela de Routh (algum elemento da primeira coluna fica zero), o que indica fronteira de estabilidade (marginal). Assim K=2231 não deve ser incluído como “estabilizante estrito”.
  • Portanto a faixa estrita de ganhos estabilizantes é 0<K<2231.

Resposta

\bar{C}(s)=\dfrac{1}{s^{2}}
0<K<2231

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