Seja
e
.
a) Defina um controlador
de modo que o erro em regime estacionário seja nulo para uma entrada do tipo rampa.
b) Determine a faixa de valores estabilizantes para
.
a) Defina um controlador
b) Determine a faixa de valores estabilizantes para
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes funções de transferência:
-
. -
. -
. -
(realimentação unitária).
O que se pede:
(a) Definir um controlador tal que o erro em regime estacionário seja nulo para uma entrada do tipo rampa (entrada
, cuja transformada é
).
(b) Determinar a faixa de valores de que estabilizam o sistema em malha fechada.
(a) Definir um controlador
(b) Determinar a faixa de valores de
Informações úteis que vamos usar:
- Para realimentação unitária, a função de malha aberta é
. - Para entrada rampa, a fórmula padrão é: o erro em regime estacionário para rampa é
, onde . Se então . - A “type” do sistema é o número de polos integradores (fatores
) em na origem: type 0 não tem integradores, type 1 tem um integrador, type 2 tem dois integradores, etc. Para rampa com erro nulo é necessário sistema de type (especificamente type 2 dá ). - Para estabilidade em malha fechada, vamos construir o polinômio característico e aplicar o critério de Routh–Hurwitz.
Passo 2
Entender por que precisamos de dois integradores para rampa (aula rápida e concreta).
- Começo pelo princípio do erro em regime estacionário via Teorema do Valor Final: para o erro
em malha fechada,
- Para realimentação unitária,
. Para entrada rampa . Então
- Se
tende para um valor finito quando , o denominador tem e o limite é infinito (erro infinito) — type 0 falha. - Se
tem um integrador (comportamento para ), então tende a uma constante finita e (type 1 dá erro finito, não nulo, para rampa). - Se
tem dois integradores (comportamento ), então diverge para e então .
Conclusão didática: para que o erro em regime estacionário seja nulo para rampa, a malha aberta
deve ter pelo menos dois polos em
(ser type 2). Assim o controlador precisa fornecer os integradores necessários.
Passo 3
Escolha concreta do controlador
.
- O enunciado impõe
. A forma mais simples que garante dois integradores é escolher
- Então o controlador completo fica
- Verificação formal pelo cálculo de
:
Ao fazer
no denominador aparece
, enquanto o numerador tende a
. Logo
. Pelo raciocínio do passo anterior, isso implica
- Comentário prático: poderíamos multiplicar
por qualquer ganho estável (por exemplo um polinômio sem polos em ), mas a escolha mais simples e direta pedagógica é .
Passo 4
Agora vamos determinar a faixa de
que estabiliza o sistema em malha fechada. Montagem do polinômio característico e aplicação do critério de Routh.
- A equação característica é
. Com temos, multiplicando:
- Expandindo o primeiro termo:
- Portanto o polinômio característico em forma padrão é
- Vamos aplicar o critério de Routh. Montamos a tabela de Routh para
.
Escrevendo a primeira coluna e calculando cada elemento passo a passo:
Linha
: coeficientes
.
Linha
: coeficientes
.
Para a linha
o primeiro elemento é
O segundo elemento dessa linha (útil para completar tabela) é
Para a linha
o primeiro elemento é
Substituindo
e
e simplificando cuidadosamente:
A última linha
tem o elemento
(vem da fórmula padrão quando a tabela é completada).
- Condições de estabilidade pelo critério de Routh: todos os elementos da primeira coluna devem ser estritamente positivos. Esses elementos são, em ordem:
Já sabemos
e
. As condições não-triviais são:
-
-
-
. Observe que o denominador de é ; como já exigimos , esse denominador é positivo. Assim o sinal de depende do numerador . Para precisamos ainda
- Juntando todas as desigualdades:
A condição
já está satisfeita por
, então a faixa final de estabilidade em malha fechada é
Passo 5
Observações finais e casos limites:
- Para
o polinômio característico torna-se , que possui dois polos na origem (marginalmente estável), portanto não é um valor estabilizante estrito. - Para
aparece uma mudança de sinal na tabela de Routh (algum elemento da primeira coluna fica zero), o que indica fronteira de estabilidade (marginal). Assim não deve ser incluído como “estabilizante estrito”. - Portanto a faixa estrita de ganhos estabilizantes é
.