Estude a estabilidade dos sistemas abaixo para valores de
elevados e pequenos utilizando o LGR.
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função de malha aberta
e pede para estudar a estabilidade do sistema em malha fechada para valores de
pequenos e para valores de
elevados, usando o Lugar Geométrico das Raízes (LGR). Informações fornecidas que vamos usar:
- A única dependência em
está multiplicando a função de transferência: . - Não há zeros finitos; há quatro polos coincidentes em
.
O objetivo é determinar para quais valores deos pólos em malha fechada ficam todos à esquerda do eixo imaginário (sistema estável), quando algum polo cruza o eixo imaginário (caso marginal) e quando surgem polos no semiplano direito (instabilidade).
Passo 2
Primeiro escrevemos a equação característica do sistema em malha fechada unitária:
Vou manipular essa equação para obter uma forma simples que permita localizar as raízes (pólos em malha fechada). Multiplicando por
obtemos:
Isso é a equação que as raízes
devem satisfazer.
Passo 3
Reescrevendo a equação de forma explícita:
Isto diz que
é uma das quatro raízes quarta de
. Vou agora representar
em forma polar para achar as quatro soluções. Para
(caso usual do LGR), temos
. Assim as quatro raízes de
são
Portanto os quatro pólos em malha fechada são
Passo 4
Interpretação geométrica (essa é a parte “LGR” bem prática):
- Todos os pólos partem do ponto
quando (pois ). - Para
cada pólo está em uma direção fixa a partir de : os ângulos são
, , , medidos em relação ao eixo real positivo para o vetor . - A distância radial desde
é . Assim, à medida que cresce, cada pólo se desloca ao longo de uma reta que parte de com um dos ângulos acima. Esses são exatamente os ramos do LGR (os assimptotos no caso de polos coincidentes saem nesses ângulos); o centróide é
coerente com o fato de as retas partirem de
.
Passo 5
Agora vamos analisar a estabilidade olhando a parte real de
. Para um pólo com ângulo
(um dos valores acima) e raio
, a parte real é
Calculamos
para cada ângulo:
-
: . -
(ou ): . -
: . -
: .
Conclusão imediata: os dois ramos com ângulos
e
deslocam-se para a direita quando
cresce (pois adicionam um termo positivo à parte real), enquanto os ramos com
e
deslocam-se para a esquerda (ficam cada vez mais negativos).
Passo 6
Determinar o valor de
em que ocorre a primeira travessia do eixo imaginário (quando a parte real de algum pólo se anula). Para os ramos que vão para a direita resolvemos
Como
, segue
Portanto em
dois pólos ficam exatamente sobre o eixo imaginário. Vamos identificar esses pólos: para
,
e para
obtemos
. Assim os pólos que cruzam são
.
Passo 7
Verificação alternativa (método algébrico via
) — útil na prova para confirmar:
Substituindo em
e tomando módulo, temos
Substituindo
A condição de ângulo exige
. Escrevendo
, obtemos
A solução principal é
. Substituindo em
dá
, e os pólos são
. Isso confirma o resultado do passo anterior.
Passo 8
Interpretação final sobre estabilidade:
- Para
: todos os quatro pólos em malha fechada têm parte real negativa (os ramos ainda estão à esquerda do eixo imaginário), logo o sistema é assintoticamente estável. - Para
: dois pólos estão exatamente em (e os outros dois permanecem com parte real negativa). Isso corresponde a estabilidade marginal (existem pólos na imaginação pura simples; o sistema sustenta oscilações não amortecidas). - Para
: os dois pólos associados aos ramos e passam para o semiplano direito (pois implica ), então há dois pólos no semiplano direito e o sistema é instável.
Observação prática e incentivadora: no LGR ficou bem claro e até fácil de visualizar — os pólos “saem” de
em quatro direções fixas; basta ver quais dessas direções têm componente real positiva para saber se pólos eventualmente entrarão no RHP.
Passo 9
Breve comentário sobre
negativo (opcional, caso apareça na prova): se
então
e os argumentos das raízes mudam (ângulos de
serão
). Nesse caso pelo mesmo raciocínio, um ou mais pólos poderão ir para a direita quando
cresce suficientemente; portanto para projeto prático costuma-se considerar
no LGR, mas o método acima se aplica também para
com atenção aos ângulos.
Resposta
Para
: sistema assintoticamente estável.
Para : estabilidade marginal (pólos em
).
Para : sistema instável (dois pólos no semiplano direito).
Para
Para