Estude a estabilidade dos sistemas abaixo para valores de
elevados e pequenos utilizando o LGR.
.
Passo 1
O enunciado dá a função de malha aberta
e pede para estudar a estabilidade do sistema para valores pequenos e para valores elevados de
, usando o Lugar das Raízes (LGR). Vou adotar a configuração padrão: sistema em realimentação unitária negativa, cujo polinômio característico vem de
Informações que temos (retiradas diretamente do enunciado):
- O ganho é
(variável). - O numerador tem um zero em
. - O denominador tem polos em
e . - Pergunta: estabilidade para
pequeno e para grande (interpreto “pequeno”/“elevado” como e ; depois comento o caso brevemente).
Passo 2
Rápida revisão didática do LGR (o que é importante para a prova).
- O LGR mostra como os pólos de malha fechada (raízes do polinômio característico) se movem no plano
quando varia. - Para realimentação unitária negativa, o polinômio característico é
onde . - Regras essenciais que vamos usar:
- O número de ramos do LGR é igual ao número de polos de
(aqui ). - Cada ramo começa em um polo de
(quando ) e termina num zero de ou vai para o infinito (quando ). Se é o número de polos a mais que zeros, há assimptotas indo para o infinito. - Segmentos do eixo real que pertencem ao LGR são aqueles pontos do eixo real onde o número de polos+zeros de
à direita do ponto é ímpar. - As assimptotas têm ângulos
e centróide . - Para concluir sobre estabilidade, basta verificar se algum ramo do LGR entra no semiplano direito (
) para os valores de considerados.
- O número de ramos do LGR é igual ao número de polos de
Explico as variáveis:
-
= número de polos de . -
= número de zeros de . -
= índice inteiro que enumera as assimptotas.
Passo 3
Aplicando as regras ao nosso
.
- Polos:
e . Logo . - Zero:
. Logo . - Há
ramo que vai para infinito (uma assimptota). - Ângulo da(s) assimptota(s): com
temos para dá (ou seja, , direção do eixo real negativo). - Centróide das assimptotas:
Logo a assimptota é uma reta que sai de para a esquerda (ângulo ). - Segmentos do eixo real que pertencem ao LGR: aplicar a regra do “número ímpar de polos+zeros à direita”.
- Para
: nada à direita → 0 (par) → não pertence. - Para
: à direita há o zero em → 1 (ímpar) → pertence. - Para
: à direita há o pólo em e o zero em → 2 (par) → não pertence. - Para
: à direita há 2 polos e 1 zero → 3 (ímpar) → pertence.
Conclusão: segmentos reais do LGR eme em .
- Para
Passo 4
Interpretação geométrica (como os ramos se comportam quando
cresce, para
).
- Cada ramo começa em um pólo: temos pólos em
e . - Um ramo, partindo de
, segue pelo eixo real no intervalo (porque esse intervalo pertence ao LGR) e termina no zero finito quando . Note que está no semiplano direito ( ). - O outro ramo, partindo de
, percorre o eixo real para a esquerda (no intervalo ) e, ao crescer , segue a assimptota com centróide em indo para . - Conclusão qualitativa do LGR para
: existe sempre um ramo que se move desde em direção a (RHP). Portanto, tanto para pequeno (mas positivo) quanto para grande (positivo) ao menos uma raiz fechada fica no semiplano direito, o que significa instabilidade.
Passo 5
Confirmando com cálculo algébrico (útil na prova: feche a argumentação do LGR por análise do polinômio).
- Polinômio característico (multiplicando por
): Expandindo: - Produto das raízes: pela forma do polinômio, o termo constante é
. Logo o produto das raízes é . - Se
então o produto é negativo: as raízes têm sinais opostos, portanto há uma raiz positiva ( ). Isso confirma que para qualquer o sistema em malha fechada é instável.
- Se
- Método de Routh (rápido e rigoroso) para ver intervalo de estabilidade:
Monta-se a tabela de Routh para: Para estabilidade (todas as entradas da primeira coluna positivas) precisamos: Essas condições dão . Ou seja: - Para
o sistema é estável (ambas raízes com ). - Para
há um pólo em (marginalmente estável). - Para
(qualquer ) o sistema é instável. - Para
também há perda de estabilidade (p.ex. dá raízes puramente imaginárias).
Isso confirma e complementa a conclusão do LGR; no entanto o pedido original focava empequeno e elevado — tipicamente isso é pensado para .]
- Para
Passo 6
Resposta direta aos casos pedidos (com linguagem de prova e interpretação física):
- Para
pequeno (interpretação usual: ou pequeno): o polo que estava em na malha aberta entra no intervalo do eixo real no LGR; portanto a raiz fechada passa para o semiplano direito e o sistema é instável já para qualquer . Para o sistema é marginalmente estável (pólo em ). - Para
elevado ( ): um ramo do LGR termina no zero finito em (RHP), isto é, uma raiz fechada tende a e portanto o sistema é instável para grande e positivo. O outro pólo tende para a esquerda (assimptota com centróide em ).
Força aí — resumindo: com
não há cura: tanto para
pequeno quanto para
grande o sistema fica instável; existe um intervalo de estabilidade somente para
negativo e com
.
Resposta
Para
pequeno (interpretação usual
, ou qualquer
): instável (há sempre uma raiz com
).
Para elevado (
): instável (uma raiz tende para
no semiplano direito).
Para