Estude a estabilidade dos sistemas abaixo para valores de K elevados e pequenos utilizando o LGR.
G(s)=K \frac{s-1}{s(s+1)}.

Passo 1

O enunciado dá a função de malha aberta
G(s)=K\frac{s-1}{s(s+1)}
e pede para estudar a estabilidade do sistema para valores pequenos e para valores elevados de K, usando o Lugar das Raízes (LGR). Vou adotar a configuração padrão: sistema em realimentação unitária negativa, cujo polinômio característico vem de
1+G(s)=0.
Informações que temos (retiradas diretamente do enunciado):
  • O ganho é K (variável).
  • O numerador tem um zero em s=1.
  • O denominador tem polos em s=0 e s=-1.
  • Pergunta: estabilidade para K pequeno e para K grande (interpreto “pequeno”/“elevado” como K\to0 e K\to+\infty; depois comento o caso K<0 brevemente).

Passo 2

Rápida revisão didática do LGR (o que é importante para a prova).
  • O LGR mostra como os pólos de malha fechada (raízes do polinômio característico) se movem no plano s quando K varia.
  • Para realimentação unitária negativa, o polinômio característico é 1+L(s)=0 onde L(s)=K\frac{s-1}{s(s+1)}.
  • Regras essenciais que vamos usar:
    1. O número de ramos do LGR é igual ao número de polos de L(s) (aqui n=2).
    2. Cada ramo começa em um polo de L(s) (quando K\to0) e termina num zero de L(s) ou vai para o infinito (quando K\to\infty). Se n-m é o número de polos a mais que zeros, há n-m assimptotas indo para o infinito.
    3. Segmentos do eixo real que pertencem ao LGR são aqueles pontos do eixo real onde o número de polos+zeros de L(s) à direita do ponto é ímpar.
    4. As assimptotas têm ângulos \theta_q=\dfrac{(2q+1)\pi}{\,n-m\,} e centróide \sigma_a=\dfrac{\sum \text{pólos} - \sum \text{zeros}}{\,n-m\,}ó.
    5. Para concluir sobre estabilidade, basta verificar se algum ramo do LGR entra no semiplano direito ( \Re(s)>0) para os valores de K considerados.
Explico as variáveis:
  • n = número de polos de L(s).
  • m = número de zeros de L(s).
  • q = índice inteiro 0,1,\dots que enumera as assimptotas.

Passo 3

Aplicando as regras ao nosso L(s)=K\frac{s-1}{s(s+1)}.
  • Polos: s=0 e s=-1. Logo n=2.
  • Zero: s=1. Logo m=1.
  • n-m=1 ramo que vai para infinito (uma assimptota).
  • Ângulo da(s) assimptota(s): com n-m=1 temos \theta_q=\frac{(2q+1)\pi}{1}=(2q+1)\pi,para q=0 \theta_0=\pi (ou seja, 180^\circ, direção do eixo real negativo).
  • Centróide das assimptotas: \sigma_a=\frac{\sum \text{pólos} - \sum \text{zeros}}{n-m} =\frac{(0)+(-1) - (1)}{1}=-2.óLogo a assimptota é uma reta que sai de \Re(s)=-2 para a esquerda (ângulo 180^\circ).
  • Segmentos do eixo real que pertencem ao LGR: aplicar a regra do “número ímpar de polos+zeros à direita”.
    • Para s>1: nada à direita → 0 (par) → não pertence.
    • Para 0<s<1: à direita há o zero em s=1 → 1 (ímpar) → pertence.
    • Para -1<s<0: à direita há o pólo em 0 e o zero em 1 → 2 (par) → não pertence.
    • Para s<-1: à direita há 2 polos e 1 zero → 3 (ímpar) → pertence.
      Conclusão: segmentos reais do LGR em (-\infty,-1) e em (0,1).

Passo 4

Interpretação geométrica (como os ramos se comportam quando K cresce, para K>0).
  • Cada ramo começa em um pólo: temos pólos em s=-1 e s=0.
  • Um ramo, partindo de s=0, segue pelo eixo real no intervalo (0,1) (porque esse intervalo pertence ao LGR) e termina no zero finito s=1 quando K\to+\infty. Note que s=1 está no semiplano direito ( \Re(s)>0).
  • O outro ramo, partindo de s=-1, percorre o eixo real para a esquerda (no intervalo (-\infty,-1)) e, ao crescer K, segue a assimptota com centróide em -2 indo para -\infty.
  • Conclusão qualitativa do LGR para K>0: existe sempre um ramo que se move desde s=0 em direção a s=1 (RHP). Portanto, tanto para K pequeno (mas positivo) quanto para K grande (positivo) ao menos uma raiz fechada fica no semiplano direito, o que significa instabilidade.

Passo 5

Confirmando com cálculo algébrico (útil na prova: feche a argumentação do LGR por análise do polinômio).
  • Polinômio característico (multiplicando por s(s+1)): 1+K\frac{s-1}{s(s+1)}=0 \quad\Longrightarrow\quad s(s+1)+K(s-1)=0.Expandindo: s^2 + s + Ks - K =0 \quad\Longrightarrow\quad s^2+(1+K)s - K =0.
  • Produto das raízes: pela forma do polinômio, o termo constante é -K. Logo o produto das raízes é -K.
    • Se K>0 então o produto é negativo: as raízes têm sinais opostos, portanto há uma raiz positiva ( \Re(s)>0). Isso confirma que para qualquer K>0 o sistema em malha fechada é instável.
  • Método de Routh (rápido e rigoroso) para ver intervalo de estabilidade:
    Monta-se a tabela de Routh para s^2+(1+K)s - K: \begin{array}{c|cc} s^2 & 1 & -K\\[4pt] s^1 & 1+K & 0\\[4pt] s^0 & -K & \\\ \end{array}Para estabilidade (todas as entradas da primeira coluna positivas) precisamos: 1>0,\qquad 1+K>0,\qquad -K>0.Essas condições dão -1<K<0. Ou seja:
    • Para -1<K<0 o sistema é estável (ambas raízes com \Re(s)<0).
    • Para K=0 há um pólo em s=0 (marginalmente estável).
    • Para K>0 (qualquer K>0) o sistema é instável.
    • Para K\le -1 também há perda de estabilidade (p.ex. K=-1 dá raízes puramente imaginárias).
      Isso confirma e complementa a conclusão do LGR; no entanto o pedido original focava em K pequeno e K elevado — tipicamente isso é pensado para K>0.]

Passo 6

Resposta direta aos casos pedidos (com linguagem de prova e interpretação física):
  • Para K pequeno (interpretação usual: K\to0^+ ou K>0 pequeno): o polo que estava em s=0 na malha aberta entra no intervalo (0,1) do eixo real no LGR; portanto a raiz fechada passa para o semiplano direito e o sistema é instável já para qualquer K>0. Para K=0 o sistema é marginalmente estável (pólo em s=0).
  • Para K elevado ( K\to+\infty): um ramo do LGR termina no zero finito em s=1 (RHP), isto é, uma raiz fechada tende a s=1 e portanto o sistema é instável para K grande e positivo. O outro pólo tende para a esquerda (assimptota com centróide em -2).
Força aí — resumindo: com K>0 não há cura: tanto para K pequeno quanto para K grande o sistema fica instável; existe um intervalo de estabilidade somente para K negativo e com -1<K<0.

Resposta

Para K pequeno (interpretação usual K\to0^+, ou qualquer K>0): instável (há sempre uma raiz com \Re(s)>0).
Para K elevado ( K\to+\infty): instável (uma raiz tende para s=1 no semiplano direito).

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