Deferminar as derivadas parciais de 2 ordem.
Passo 1
O enunciado pede para determinar as derivadas parciais de segunda ordem da função
Informações dadas:
- A função depende de quatro variáveis:
. - A expressão explícita de
é .
O que se pede claramente: calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem (as puras e as mistas), ou seja:
e
.
Passo 2
Relembrando regras que vou usar (com explicação curta e amigável):
- Definição de derivada parcial: para
tratam-se como constantes e deriva-se só em relação a . - Regra do produto: se
então . Aqui será usada quando aparecer produto entre funções de variáveis diferentes (ex.: e ). - Regra da cadeia: se
então . Vou usar isso para derivar quando derivar em relação a ou . - Para
tem
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo para não pular nada.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de primeira ordem.
Derivada em relação a
:
Trato
como constantes. Usando
,
Passo 4
Derivada em relação a
:
pois
e
são constantes em relação a
.
Passo 5
Derivada em relação a
: uso regra da cadeia com
.
Multiplicando por
(que é constante em relação a
),
Passo 6
Derivada em relação a
: de novo regra da cadeia com
e
.
Multiplicando por
,
Passo 7
Agora as derivadas de segunda ordem que envolvem derivação em relação a
(ou seja, derivadas de
).
Temos
.
- Derivada segunda pura em
:
pois
é constante em
.
- Derivada mista
:
(essa também é
por igualdade de derivadas mistas quando
é
.)
- Derivada mista
:
- Derivada mista
:
Passo 8
Agora as derivadas de segunda ordem que envolvem
(derivar as expressões obtidas em Passo 4 e Passo 5 conforme necessário).
- Derivada pura em
:
pois
não depende de
.
- Derivada mista
:
(Confere com
de
.)
- Derivada mista
:
Passo 9
Agora as derivadas de segunda ordem que envolvem apenas
e
. Estas precisam de cuidado com a regra da cadeia e produto.
Recordando
.
- Derivada pura em
:
- Derivada mista
(ou ):
a) Um caminho: derivarem relação a . Com onde ,
Calcule a derivada interna:
Multiplicando por
obtemos
b) Conferência (alternativa): derivar
em relação a
dá o mesmo resultado (boa prática para checar).
- Derivada pura em
: derivar em relação a . Use produto entre e .
Seja
constante. Considere
com
.
Multiplicando por
,
Ou de forma combinada:
Passo 10
Resumo rápido de verificação e observações didáticas:
- As derivadas mistas que calculamos conferem entre si (por exemplo
), o que faz sentido porque a função é suficientemente suave ( onde ). - Em provas, o procedimento padrão é: primeiro encontre todas as derivadas de primeira ordem com cuidado (produto e cadeia), e então derive essas expressões novamente aplicando produto/ cadeia quando necessário. Fazer passo a passo evita erros de sinais (muito comum com
e e derivada de ).