Deferminar as derivadas parciais de 2 ordem.
h(x, y, z, t)=x^{2} \cdot y \cdot \cos (z / t)

Passo 1

O enunciado pede para determinar as derivadas parciais de segunda ordem da função
h(x,y,z,t)=x^{2}\,y\,\cos\!\left(\dfrac{z}{t}\right).
Informações dadas:
  • A função depende de quatro variáveis: x,y,z,t.
  • A expressão explícita de h é x^{2}y\cos(z/t).
O que se pede claramente: calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem (as puras e as mistas), ou seja:
\;h_{xx},h_{yy},h_{zz},h_{tt}\; e \;h_{xy},h_{xz},h_{xt},h_{yz},h_{yt},h_{zt}.

Passo 2

Relembrando regras que vou usar (com explicação curta e amigável):
  • Definição de derivada parcial: para \dfrac{\partial h}{\partial x} tratam-se y,z,t como constantes e deriva-se só em relação a x.
  • Regra do produto: se F(x)=u(x)\,v(x) então F'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x). Aqui será usada quando aparecer produto entre funções de variáveis diferentes (ex.: x^{2}y e \cos(z/t)).
  • Regra da cadeia: se F(x)=g(u(x)) então F'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x). Vou usar isso para derivar \cos(z/t) quando derivar em relação a z ou t.
  • Para u(z,t)=\dfrac{z}{t}=z\,t^{-1} tem
\frac{\partial u}{\partial z}=\frac{1}{t},\qquad \frac{\partial u}{\partial t}=-\frac{z}{t^{2}}.
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo para não pular nada.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem.
Derivada em relação a x:
h(x,y,z,t)=x^{2}y\cos\!\left(\dfrac{z}{t}\right).
Trato y,z,t como constantes. Usando \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x,
\frac{\partial h}{\partial x}=2x\,y\cos\!\left(\dfrac{z}{t}\right).

Passo 4

Derivada em relação a y:
\frac{\partial h}{\partial y}=x^{2}\cos\!\left(\dfrac{z}{t}\right),
pois x^{2} e \cos(z/t) são constantes em relação a y.

Passo 5

Derivada em relação a z: uso regra da cadeia com u=z/t.
\frac{\partial}{\partial z}\cos\!\left(\dfrac{z}{t}\right)=-\sin\!\left(\dfrac{z}{t}\right)\cdot\frac{\partial}{\partial z}\!\left(\dfrac{z}{t}\right) =-\sin\!\left(\dfrac{z}{t}\right)\cdot\frac{1}{t}.
Multiplicando por x^{2}y (que é constante em relação a z),
\frac{\partial h}{\partial z}=-\frac{x^{2}y}{t}\sin\!\left(\dfrac{z}{t}\right).

Passo 6

Derivada em relação a t: de novo regra da cadeia com u=z/t e \dfrac{\partial u}{\partial t}=-\dfrac{z}{t^{2}}.
\frac{\partial}{\partial t}\cos\!\left(\dfrac{z}{t}\right)=-\sin\!\left(\dfrac{z}{t}\right)\cdot\left(-\frac{z}{t^{2}}\right)=\frac{z}{t^{2}}\sin\!\left(\dfrac{z}{t}\right).
Multiplicando por x^{2}y,
\frac{\partial h}{\partial t}=\frac{x^{2}y z}{t^{2}}\sin\!\left(\dfrac{z}{t}\right).

Passo 7

Agora as derivadas de segunda ordem que envolvem derivação em relação a x (ou seja, derivadas de \partial h/\partial x).
Temos \dfrac{\partial h}{\partial x}=2x y\cos(z/t).
  • Derivada segunda pura em x:
\frac{\partial^{2} h}{\partial x^{2}}=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(2x y\cos\!\left(\dfrac{z}{t}\right)\right)=2y\cos\!\left(\dfrac{z}{t}\right),
pois \cos(z/t) é constante em x.
  • Derivada mista \partial^{2}h/\partial x\partial y:
\frac{\partial^{2} h}{\partial y\partial x}=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(2x y\cos\!\left(\dfrac{z}{t}\right)\right)=2x\cos\!\left(\dfrac{z}{t}\right).
(essa também é \dfrac{\partial^{2} h}{\partial x\partial y} por igualdade de derivadas mistas quando h é C^{2}.)
  • Derivada mista \partial^{2}h/\partial x\partial z:
\frac{\partial^{2} h}{\partial z\partial x}=\frac{\partial}{\partial z}\!\left(2x y\cos\!\left(\dfrac{z}{t}\right)\right) =2x y\cdot\left(-\sin\!\left(\dfrac{z}{t}\right)\right)\cdot\frac{1}{t} =-\frac{2x y}{t}\sin\!\left(\dfrac{z}{t}\right).
  • Derivada mista \partial^{2}h/\partial x\partial t:
\frac{\partial^{2} h}{\partial t\partial x}=\frac{\partial}{\partial t}\!\left(2x y\cos\!\left(\dfrac{z}{t}\right)\right) =2x y\cdot\left(-\sin\!\left(\dfrac{z}{t}\right)\right)\cdot\left(-\frac{z}{t^{2}}\right) =\frac{2x y z}{t^{2}}\sin\!\left(\dfrac{z}{t}\right).

Passo 8

Agora as derivadas de segunda ordem que envolvem y (derivar as expressões obtidas em Passo 4 e Passo 5 conforme necessário).
  • Derivada pura em y:
\frac{\partial^{2} h}{\partial y^{2}}=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(x^{2}\cos\!\left(\dfrac{z}{t}\right)\right)=0,
pois x^{2}\cos(z/t) não depende de y.
  • Derivada mista \partial^{2}h/\partial y\partial z:
\frac{\partial^{2} h}{\partial z\partial y}=\frac{\partial}{\partial z}\!\left(x^{2}\cos\!\left(\dfrac{z}{t}\right)\right) =x^{2}\cdot\left(-\sin\!\left(\dfrac{z}{t}\right)\right)\cdot\frac{1}{t} =-\frac{x^{2}}{t}\sin\!\left(\dfrac{z}{t}\right).
(Confere com \partial/\partial y de h_{z}.)
  • Derivada mista \partial^{2}h/\partial y\partial t:
\frac{\partial^{2} h}{\partial t\partial y}=\frac{\partial}{\partial t}\!\left(x^{2}\cos\!\left(\dfrac{z}{t}\right)\right) =x^{2}\cdot\left(-\sin\!\left(\dfrac{z}{t}\right)\right)\cdot\left(-\frac{z}{t^{2}}\right) =\frac{x^{2} z}{t^{2}}\sin\!\left(\dfrac{z}{t}\right).

Passo 9

Agora as derivadas de segunda ordem que envolvem apenas z e t. Estas precisam de cuidado com a regra da cadeia e produto.
Recordando h_{z}=-\dfrac{x^{2}y}{t}\sin\!\left(\dfrac{z}{t}\right).
  • Derivada pura em z:
\frac{\partial^{2} h}{\partial z^{2}}=\frac{\partial}{\partial z}\!\left(-\frac{x^{2}y}{t}\sin\!\left(\dfrac{z}{t}\right)\right) =-\frac{x^{2}y}{t}\cos\!\left(\dfrac{z}{t}\right)\cdot\frac{1}{t} =-\frac{x^{2}y}{t^{2}}\cos\!\left(\dfrac{z}{t}\right).
  • Derivada mista \partial^{2}h/\partial t\partial z (ou \partial^{2}h/\partial z\partial t):
    a) Um caminho: derivar h_{z} em relação a t. Com h_{z}=-x^{2}y\,t^{-1}\sin(u) onde u=z/t,
\frac{\partial^{2} h}{\partial t\partial z}= -x^{2}y\cdot\frac{\partial}{\partial t}\!\left(t^{-1}\sin\!\left(\dfrac{z}{t}\right)\right).
Calcule a derivada interna:
\frac{d}{dt}\!\left(t^{-1}\sin(u)\right) =-t^{-2}\sin(u)+t^{-1}\cos(u)\cdot\left(-\frac{z}{t^{2}}\right) =-\frac{1}{t^{2}}\sin(u)-\frac{z}{t^{3}}\cos(u).
Multiplicando por -x^{2}y obtemos
\frac{\partial^{2} h}{\partial t\partial z} =\frac{x^{2}y}{t^{2}}\sin\!\left(\dfrac{z}{t}\right)+\frac{x^{2}y z}{t^{3}}\cos\!\left(\dfrac{z}{t}\right).
b) Conferência (alternativa): derivar h_{t} em relação a z dá o mesmo resultado (boa prática para checar).
  • Derivada pura em t: derivar h_{t}=\dfrac{x^{2}y z}{t^{2}}\sin(z/t) em relação a t. Use produto entre z t^{-2} e \sin(u).
Seja A=x^{2}y constante. Considere g(t)=z t^{-2}\sin(u) com u=z/t.
g'(t)=\left(-\frac{2z}{t^{3}}\right)\sin(u)+\frac{z}{t^{2}}\cos(u)\cdot\left(-\frac{z}{t^{2}}\right) =-\frac{2z}{t^{3}}\sin(u)-\frac{z^{2}}{t^{4}}\cos(u).
Multiplicando por A,
\frac{\partial^{2} h}{\partial t^{2}}= -x^{2}y\left(\frac{2z}{t^{3}}\sin\!\left(\dfrac{z}{t}\right)\right)-x^{2}y\left(\frac{z^{2}}{t^{4}}\cos\!\left(\dfrac{z}{t}\right)\right).
Ou de forma combinada:
\frac{\partial^{2} h}{\partial t^{2}} =-\frac{2x^{2}y z}{t^{3}}\sin\!\left(\dfrac{z}{t}\right)-\frac{x^{2}y z^{2}}{t^{4}}\cos\!\left(\dfrac{z}{t}\right).

Passo 10

Resumo rápido de verificação e observações didáticas:
  • As derivadas mistas que calculamos conferem entre si (por exemplo h_{zt}=h_{tz}), o que faz sentido porque a função é suficientemente suave ( C^{\infty} onde t\neq 0).
  • Em provas, o procedimento padrão é: primeiro encontre todas as derivadas de primeira ordem com cuidado (produto e cadeia), e então derive essas expressões novamente aplicando produto/ cadeia quando necessário. Fazer passo a passo evita erros de sinais (muito comum com \sin e \cos e derivada de z/t).

Resposta

h_{xx}=2y\cos\!\left(\dfrac{z}{t}\right)
h_{xy}=2x\cos\!\left(\dfrac{z}{t}\right)
h_{xz}=-\dfrac{2x y}{t}\sin\!\left(\dfrac{z}{t}\right)
h_{xt}=\dfrac{2x y z}{t^{2}}\sin\!\left(\dfrac{z}{t}\right)
h_{yy}=0
h_{yz}=-\dfrac{x^{2}}{t}\sin\!\left(\dfrac{z}{t}\right)
h_{yt}=\dfrac{x^{2} z}{t^{2}}\sin\!\left(\dfrac{z}{t}\right)
h_{zz}=-\dfrac{x^{2}y}{t^{2}}\cos\!\left(\dfrac{z}{t}\right)
h_{zt}=\dfrac{x^{2}y}{t^{2}}\sin\!\left(\dfrac{z}{t}\right)+\dfrac{x^{2}y z}{t^{3}}\cos\!\left(\dfrac{z}{t}\right)
h_{tt}=-\dfrac{2x^{2}y z}{t^{3}}\sin\!\left(\dfrac{z}{t}\right)-\dfrac{x^{2}y z^{2}}{t^{4}}\cos\!\left(\dfrac{z}{t}\right)

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