Q9: Seja \beta=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} uma base de \mathbb{R}^{3} e A uma matriz 3 \times 3 tal que
A \vec{v}_{1}=3 \vec{v}_{1}, \quad A \vec{v}_{2}=\vec{v}_{1}-3 \vec{v}_{3} \quad \text { e } \quad A \vec{v}_{3}=\vec{v}_{1}-2 \vec{v}_{3} .
Se M=\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3}\end{array}\right], então:
(A) A M=M\left[\begin{array}{rrr}3 & 1 & 1 \\\\ 0 & -3 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]
(B) M A=\left[\begin{array}{rrr}3 & 1 & 1 \\\\ 0 & -3 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right] M
(C) M A=\left[\begin{array}{rrr}3 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & -3 \\\\ 1 & 0 & -2\end{array}\right] M
(D) M A=\left[\begin{array}{rrr}3 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & -3 & -2\end{array}\right] M
(E) A M=M\left[\begin{array}{rrr}3 & -3 & 2 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]
(F) A M=M\left[\begin{array}{rrr}3 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & -3 & -2\end{array}\right]
(G) A M=M\left[\begin{array}{rrr}3 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & -3 \\\\ 1 & 0 & -2\end{array}\right]
(H) M A=\left[\begin{array}{rrr}3 & -3 & 2 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1\end{array}\right] M

Passo 1

O enunciado dá:
\beta=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\} é uma base de \mathbb{R}^{3}.
A matriz A satisfaz
A\vec{v}_{1}=3\vec{v}_{1},\qquad A\vec{v}_{2}=\vec{v}_{1}-3\vec{v}_{3},\qquad A\vec{v}_{3}=\vec{v}_{1}-2\vec{v}_{3}.
Foi definida a matriz M=\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3}\end{array}\right] cujas colunas são exatamente os vetores da base \beta.
O que se pergunta: dentre as alternativas (A) a (H), qual igualdade matricial é verdadeira envolvendo A e M.

Passo 2

Conceito-chave (explicado passo a passo, sem pressa): se M tem as colunas sendo os vetores da base \beta, então a multiplicação A M forma uma matriz cujas colunas são A\vec{v}_{1},A\vec{v}_{2},A\vec{v}_{3}. Ou seja,
A M=\left[\;A\vec{v}_{1}\;\;A\vec{v}_{2}\;\;A\vec{v}_{3}\;\right].
Além disso, cada vetor A\vec{v}_{j} pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base \beta. Os coeficientes dessas combinações formam a j-ésima coluna da matriz da transformação A relativa à base \beta. Essa matriz (vamos chamar de C) satisfaz
A M = M C.
Aqui a ideia é: M converte coordenadas na base canônica para coordenadas na base \beta; C são as coordenadas de A\vec{v}_j na base \beta. Não precisa usar inversa explicitamente: basta obter as coordenadas de cada A\vec{v}_j.

Passo 3

Calcular as coordenadas de cada A\vec{v}_{j} na base \beta. Lembre-se: a ordem das coordenadas é sempre em relação a \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}.
Para \;A\vec{v}_{1}=3\vec{v}_{1}\; os coeficientes em relação a \beta são 3 para \vec{v}_{1} e 0 para \vec{v}_{2},\vec{v}_{3}. Logo a coordenada é
\begin{pmatrix}3\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Para \;A\vec{v}_{2}=\vec{v}_{1}-3\vec{v}_{3}\; os coeficientes são 1 para \vec{v}_{1}, 0 para \vec{v}_{2} e -3 para \vec{v}_{3}. Logo a coordenada é
\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-3\end{pmatrix}.
Para \;A\vec{v}_{3}=\vec{v}_{1}-2\vec{v}_{3}\; os coeficientes são 1,0,-2. Logo a coordenada é
\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-2\end{pmatrix}.]

Passo 4

Montando a matriz C cujas colunas são essas coordenadas (primeira coluna as coordenadas de A\vec{v}_1, segunda as de A\vec{v}_2, terceira as de A\vec{v}_3), temos
C=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -3 & -2 \end{pmatrix}.
Pela relação do Passo 2, conclui-se que
A M = M C.]

Passo 5

Comparando com as alternativas fornecidas, procuramos a alternativa que afirma exatamente
A M = M\begin{pmatrix} 3 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -3 & -2 \end{pmatrix}.
Isso coincide com a alternativa (F).]

Resposta

(F)

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