- Seja
uma curva fechada simples lisa que está no plano
. Mostre que a integral de linha
depende apenas da área da região englobada por
e não da forma de
ou de sua posição no plano.
4. Se
é uma esfera e
satisfaz as hipóteses do Teoream de Stokes, mostre que
.
4. Se
Passo 1
O enunciado 3 pede para mostrar que, para a curva fechada simples lisa
contida no plano
, a integral de linha
depende apenas da área da região limitada por
. O enunciado 4 pede para mostrar que, se
é uma esfera e
satisfaz as hipóteses do Teorema de Stokes, então
Em ambas as questões vamos usar o Teorema de Stokes (ou, no caso da esfera, o fato de
).
Passo 2
Para a questão 3, definimos o campo vetorial
Calculamos sua rotação em
por
Passo 3
Pelo Teorema de Stokes, escolhendo como superfície
a parte do plano
limitada por
e com orientação compatível com a de
, vale
onde
é o versor normal a
. No plano
um normal não orientado é
, logo
Passo 4
Como
, temos
Assim
mostrando que depende só da área e não da forma de
ou de sua posição.
Passo 5
Para a questão 4,
é uma esfera fechada, logo sua fronteira
é vazia. Pelo Teorema de Stokes
Resposta
-
. -