1. Seja C uma curva fechada simples lisa que está no plano x+y+z=1. Mostre que a integral de linha
\int_{C} z d x-2 x d y+3 z d z
depende apenas da área da região englobada por C e não da forma de C ou de sua posição no plano.
4. Se S é uma esfera e F satisfaz as hipóteses do Teoream de Stokes, mostre que \iint_{s} \operatorname{rot} F d S=0.

Passo 1

O enunciado 3 pede para mostrar que, para a curva fechada simples lisa C contida no plano x+y+z=1, a integral de linha
\int_{C} z\,dx \;-\;2x\,dy\;+\;3z\,dz
depende apenas da área da região limitada por C. O enunciado 4 pede para mostrar que, se S é uma esfera e F satisfaz as hipóteses do Teorema de Stokes, então
\iint_{S}\!\operatorname{rot}F\cdot dS = 0.
Em ambas as questões vamos usar o Teorema de Stokes (ou, no caso da esfera, o fato de \partial S=\emptyset).

Passo 2

Para a questão 3, definimos o campo vetorial
F(x,y,z) = \bigl(P,Q,R\bigr) = \bigl(z,\,-2x,\;3z\bigr).
Calculamos sua rotação em \mathbb{R}^3 por
\operatorname{rot}F =\Bigl(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr) =(0,\;1,\;-2).

Passo 3

Pelo Teorema de Stokes, escolhendo como superfície S a parte do plano x+y+z=1 limitada por C e com orientação compatível com a de C, vale
\int_{C} P\,dx+Q\,dy+R\,dz =\iint_{S}\operatorname{rot}F\cdot\mathbf n\,dS
onde \mathbf n é o versor normal a S. No plano x+y+z=1 um normal não orientado é (1,1,1), logo
\mathbf n = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1).

Passo 4

Como \operatorname{rot}F=(0,1,-2), temos
\operatorname{rot}F\cdot\mathbf n =\frac{1}{\sqrt{3}}\,(0,1,-2)\cdot(1,1,1) =\frac{1}{\sqrt{3}}\,(0+1-2) =-\frac{1}{\sqrt{3}}.
Assim
\int_{C} z\,dx-2x\,dy+3z\,dz =\iint_{S}\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr)\,dS =-\frac{1}{\sqrt{3}}\;\Bigl(\text{área de }S\Bigr),á
mostrando que depende só da área e não da forma de C ou de sua posição.

Passo 5

Para a questão 4, S é uma esfera fechada, logo sua fronteira \partial S é vazia. Pelo Teorema de Stokes
\iint_{S}\operatorname{rot}F\cdot dS =\int_{\partial S}F\cdot dr =\int_{\emptyset}F\cdot dr =0.

Resposta

  1. \displaystyle \int_{C} z\,dx-2x\,dy+3z\,dz = -\tfrac{1}{\sqrt{3}}\times(\text{área da região limitada por }C)áã.
  2. \displaystyle \iint_{S}\!\operatorname{rot}F\cdot dS = 0.

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