Seja C a curva parametrizada por integralC 51 y d x+90 z d y+152 x y d z. Calcule

Passo 1

Então, temos uma curva $ C $ definida pela parametrização $ \phi(t) = (t, t^2, t^3) $ para $ t $ entre 0 e 1. O exercício pede para calcular a integral de linha C .
Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha, onde precisamos substituir as coordenadas parametrizadas e calcular a integral em relação a $ t $.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes da parametrização:
x(t) = t, y(t) = t^2, z(t) = t^3
Também precisamos das derivadas dessas funções em relação a $ t $:
t

Passo 3

Agora, substituímos $ x(t) $, $ y(t) $ e $ z(t) $ na expressão da integral:
x(t)
Simplificando cada termo:
y(t)

Passo 4

Agora, a integral de linha se transforma em uma integral definida de $ t = 0 $ a $ t = 1 $:
t = 0

Passo 5

Vamos integrar termo a termo:
integral 51, t^2, dt = 51 cdot t^33 = 17, t^3
integral 180, t^4, dt = 180 cdot t^55 = 36, t^5
integral 456, t^5, dt = 456 cdot t^66 = 76, t^6

Passo 6

Agora, avaliamos as integrais de $ t = 0 $ a $ t = 1 $:
t = 0
t = 1
17, t^3 gr|0^1 = 17 (1)^3 - 17 (0)^3 = 17

Passo 7

Somamos os resultados das integrais:
17 + 36 + 76 = 129

Resposta

O valor da integral de linha é 129.

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