Seja
a curva parametrizada por
. Calcule
Passo 1
Então, temos uma curva $ C $ definida pela parametrização $ \phi(t) = (t, t^2, t^3) $ para $ t $ entre 0 e 1. O exercício pede para calcular a integral de linha
.
Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha, onde precisamos substituir as coordenadas parametrizadas e calcular a integral em relação a $ t $.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes da parametrização:
Também precisamos das derivadas dessas funções em relação a $ t $:
Passo 3
Agora, substituímos $ x(t) $, $ y(t) $ e $ z(t) $ na expressão da integral:
Simplificando cada termo:
Passo 4
Agora, a integral de linha se transforma em uma integral definida de $ t = 0 $ a $ t = 1 $:
Passo 5
Vamos integrar termo a termo:
Passo 6
Agora, avaliamos as integrais de $ t = 0 $ a $ t = 1 $:
Passo 7
Somamos os resultados das integrais:
Resposta
O valor da integral de linha é 129.