Seja C a curva no plano x y definida por F(x, y)=3 x^{2} y-2 y^{3}-5 x^{4} y^{2}-6 x^{2}. Encontre um vetor normal unitário a C \operatorname{em}(1,-1).

Passo 1

O enunciado nos dá a curva C como nível da função
F(x,y)=3x^{2}y-2y^{3}-5x^{4}y^{2}-6x^{2},
isto é, C=\{(x,y)\mid F(x,y)=0\}. Para uma curva dada por F(x,y)=0, um vetor normal em qualquer ponto é dado pelo gradiente \nabla F. Nosso objetivo é encontrar um vetor normal unitário em (1,-1).

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de F:
\frac{\partial F}{\partial x} =6xy-20x^{3}y^{2}-12x,
\frac{\partial F}{\partial y} =3x^{2}-6y^{2}-10x^{4}y.

Passo 3

Agora avaliamos \nabla F em (1,-1):
\frac{\partial F}{\partial x}(1,-1) =6\cdot1\cdot(-1)-20\cdot1^{3}\cdot(-1)^{2}-12\cdot1 =-6-20-12=-38,
\frac{\partial F}{\partial y}(1,-1) =3\cdot1^{2}-6\cdot(-1)^{2}-10\cdot1^{4}\cdot(-1) =3-6+10=7.
Logo \nabla F(1,-1)=(-38,7).

Passo 4

O comprimento de \nabla F(1,-1) é
\|\nabla F(1,-1)\| =\sqrt{(-38)^{2}+7^{2}} =\sqrt{1444+49} =\sqrt{1493}.

Passo 5

Para tornar o vetor unitário, dividimos por sua norma. Assim obtemos, escolhendo o sinal “positivo” em direção a \nabla F:
\mathbf{n} =\frac{1}{\sqrt{1493}}\,(-38,\,7).

Resposta

Um vetor normal unitário a C em (1,-1) é
\boxed{\left(-\frac{38}{\sqrt{1493}},\;\frac{7}{\sqrt{1493}}\right)}.

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