Seja \vec{A}(x, y)=2 x y-i x^{2} y^{3}. Calcule:
gradiente de \vec{A}

Passo 1

O enunciado dá a função escalar complexa
A(x,y) = 2\,x\,y \;-\; i\,x^{2}y^{3}
e pede o gradiente de A. Vamos usar que, para uma função escalar A(x,y),
\nabla A = \Bigl(\frac{\partial A}{\partial x},\,\frac{\partial A}{\partial y}\Bigr).

Passo 2

Calculamos a derivada parcial de A em relação a x. Como
A(x,y) = 2\,x\,y \;-\; i\,x^{2}y^{3},
temos
\frac{\partial A}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2xy) \;-\; i\,\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}y^{3}) = 2y \;-\; i\,(2x\,y^{3}) = 2y \;-\; 2\,i\,x\,y^{3}.

Passo 3

Agora calculamos a derivada parcial de A em relação a y. Como
A(x,y) = 2xy - i\,x^{2}y^{3},
segue
\frac{\partial A}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2xy) \;-\; i\,\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}y^{3}) = 2x \;-\; i\,(x^{2}\cdot 3y^{2}) = 2x \;-\; 3\,i\,x^{2}\,y^{2}.

Passo 4

Reunindo os componentes, o gradiente fica
\nabla A(x,y) = \bigl(2y - 2\,i\,x\,y^{3},\;2x - 3\,i\,x^{2}\,y^{2}\bigr).

Resposta

\nabla A(x,y) = \bigl(2y - 2\,i\,x\,y^{3},\;2x - 3\,i\,x^{2}\,y^{2}\bigr).

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