Seja 
  a curva representada pelas equações (Ex11)
 
Calcule 
 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva 
  definida pelas equações paramétricas 
  e 
 , onde 
  varia de 
  a 
 . A tarefa é calcular a integral de linha 
 .
Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais de linha, especialmente como parametrizar a curva e calcular o elemento de comprimento 
 . Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, como a curva está parametrizada em termos de 
 , vamos expressar 
  e 
  diretamente em função de 
 :
Aqui, 
  varia de 
  a 
 . Isso vai nos ajudar a reescrever tudo em termos de 
 .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o elemento de comprimento 
 . Quando temos uma curva parametrizada por 
 , o 
  é dado por:
Vamos calcular as derivadas de 
  e 
  em relação a 
 :
Substituindo na fórmula de 
 :
Passo 4
Agora, vamos expressar a função que está sendo integrada, que é 
 , também em termos de 
 :
Porque 
  para 
 , que é o nosso intervalo de 
 .
Passo 5
Agora que temos tudo em termos de 
 , podemos montar a integral:
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição simples. Seja 
 , então 
  ou 
 . Portanto:
Integrando 
 :
Aplicando os limites de integração:
Resposta
A integral 
  vale 
 .