Calcule as integrais a seguir:
(a) 
  onde 
 ;
(a)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no enunciado. Precisamos calcular a integral definida de -1 a 1 da função 
 , que é definida de maneiras diferentes em dois intervalos: de -1 a 0 e de 0 a 1. Isso significa que vamos dividir a integral em duas partes e resolver cada uma separadamente. Para isso, vamos precisar conhecer as técnicas de integração, como substituição e integração de funções racionais e irracionais.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a integral de -1 a 0, onde 
 . A integral fica:
Para resolver essa integral, vamos usar a técnica da substituição. Observando o denominador 
 , podemos notar que a derivada dele em relação a 
  é 
 , que não coincide exatamente com o numerador 
 . Então, precisamos ajustar a expressão para facilitar a integração.
Vamos fatorar a expressão do denominador:
Mas para simplificar, podemos completar o quadrado ou tentar uma divisão polinomial, mas nesse caso, uma abordagem mais direta é reconhecer que a integral está na forma que podemos aplicar conhecer um logaritmo natural.
Vamos realizar a substituição:
Mas queremos expressar 
  em termos de 
 . Observamos que:
Isso nos permite reescrever a integral em termos de 
 :
Agora, aplicamos os limites de integração de -1 a 0:
Passo 3
Agora, vamos resolver a segunda parte da integral, de 0 a 1, onde 
 . A integral fica:
Para resolver essa integral, vamos usar a substituição 
 . Então:
Precisamos expressar 
  em termos de 
 . Reescrevemos 
  como 
 , e sabemos que 
 . Então:
Substituindo na integral:
Integrando termo a termo:
Voltando para 
 :
Aplicamos os limites de 0 a 1:
Para 
 :
Para 
 :
O resultado da integral é:
Passo 4
Agora, vamos somar os resultados das duas integrais que calculamos:
Simplificando:
Resposta
A integral definida de -1 a 1 de 
  é igual a: