Seja c=\{z \in \mathbb{C} /|z|=\mathcal{X}\}. Calcule \int_{c} \frac{\bar{z}}{z^{2}-1} d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{c}\frac{\bar{z}}{z^{2}-1}\,dz,
onde c é o círculo \{z\in\mathbb{C}\mid |z|=X\}. Como aparece \bar{z}, a função não é holomorfa, então vamos parametrizar o contorno e converter a integral num contorno em w.

Passo 2

Parametrizando z = X e^{it} com t\in[0,2\pi], temos
\bar{z}=X e^{-it} e dz = iX e^{it}\,dt. Logo
\int_{c}\frac{\bar{z}}{z^{2}-1}\,dz = \int_{0}^{2\pi}\frac{X e^{-it}}{X^{2}e^{2it}-1}\,iX e^{it}\,dt = iX^{2}\int_{0}^{2\pi}\frac{dt}{X^{2}e^{2it}-1}.

Passo 3

Fazendo w=e^{it}, então dt = \frac{dw}{i\,w} e o contorno em t vira o círculo |w|=1. A integral fica
iX^{2}\int_{|w|=1}\frac{1}{X^{2}w^{2}-1}\,\frac{dw}{i\,w} = X^{2}\oint_{|w|=1}\frac{dw}{w\,(X^{2}w^{2}-1)}.

Passo 4

Os polos da função F(w)=\frac{1}{w\,(X^{2}w^{2}-1)} são
w=0,\quad w=\frac{1}{X},\quad w=-\frac{1}{X}.
No círculo |w|=1:
  • Se X<1, então \bigl|\pm\frac1X\bigr|>1 e só está dentro w=0.
  • Se X>1, então \bigl|\pm\frac1X\bigr|<1 e estão dentro w=0,\pm\frac1X.
  • Se X=1, dois polos ficam sobre o contorno e a integral não está bem definida.

Passo 5

Calculamos os resíduos:
Para w=0,
\Res(F,0) =\lim_{w\to0}w\frac{1}{w\,(X^{2}w^{2}-1)} =\frac{1}{-1}=-1.
Para w=\pm\frac1X, como são polos simples de X^{2}w^{2}-1,
\Res\Bigl(F,\tfrac{\pm1}{X}\Bigr) =\frac{1}{w\;\bigl(2X^{2}w\bigr)}\Bigg|_{w=\pm1/X} =\frac{1}{2X^{2}(\pm1/X)^{2}} =\frac12.
Somando os resíduos no interior e multiplicando por 2\pi iX^{2}, obtemos:
  • Se X<1, soma dos resíduos -1, então
\int_{c}\frac{\bar z}{z^2-1}\,dz = X^{2}\,2\pi i\,(-1) = -2\pi i\,X^{2}.
  • Se X>1, soma -1+\tfrac12+\tfrac12=0, então
\int_{c}\frac{\bar z}{z^2-1}\,dz =0.

Resposta

Se X<1,
\int_{c}\frac{\bar z}{z^2-1}\,dz=-2\pi i\,X^{2}.
Se X>1,
\int_{c}\frac{\bar z}{z^2-1}\,dz=0.
O caso X=1 torna a integral mal definida devido aos polos sobre o contorno.

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