Seja C=\{z \in \mathbb{C} /|z|=4\}. Calcule \int_{c} \frac{\operatorname{sen}\left(\pi z^{2}\right)+\cos \left(\pi z^{2}\right)}{z^{2}-3 z+2} d z
Passo 1
O enunciado pede o cálculo de \displaystyle \int_{C}\frac{\operatorname{sen}(\pi z^{2})+\cos(\pi z^{2})}{z^{2}-3z+2}\,dz,
onde C é o círculo \{z\in\mathbb{C}\mid|z|=4\}.
Este é um caso de integral de contorno de função meromorfa, e vamos aplicar o Teorema dos Resíduos para avaliá-la.
Passo 2
Identificamos os polos da função \displaystyle f(z)=\frac{\operatorname{sen}(\pi z^{2})+\cos(\pi z^{2})}{z^{2}-3z+2}.
O denominador fatoriza-se como
z^{2}-3z+2=(z-1)(z-2),
logo há polos simples em z=1 e z=2. Ambos estão no interior de C, pois |1|<4 e |2|<4.
Passo 3
Para um polo simples z_{0}, a fórmula do resíduo é