Seja C=\{z \in \mathbb{C} /|z|=4\}. Calcule \int_{c} \frac{\operatorname{sen}\left(\pi z^{2}\right)+\cos \left(\pi z^{2}\right)}{z^{2}-3 z+2} d z

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\displaystyle \int_{C}\frac{\operatorname{sen}(\pi z^{2})+\cos(\pi z^{2})}{z^{2}-3z+2}\,dz,
onde C é o círculo \{z\in\mathbb{C}\mid|z|=4\}.
Este é um caso de integral de contorno de função meromorfa, e vamos aplicar o Teorema dos Resíduos para avaliá-la.

Passo 2

Identificamos os polos da função
\displaystyle f(z)=\frac{\operatorname{sen}(\pi z^{2})+\cos(\pi z^{2})}{z^{2}-3z+2}.
O denominador fatoriza-se como
z^{2}-3z+2=(z-1)(z-2),
logo há polos simples em z=1 e z=2. Ambos estão no interior de C, pois |1|<4 e |2|<4.

Passo 3

Para um polo simples z_{0}, a fórmula do resíduo é
\operatorname{Res}(f,z_{0}) =\frac{\operatorname{sen}(\pi z_{0}^{2})+\cos(\pi z_{0}^{2})} {(d/dz)\bigl(z^{2}-3z+2\bigr)\big|_{z=z_{0}}} =\frac{\operatorname{sen}(\pi z_{0}^{2})+\cos(\pi z_{0}^{2})}{2z_{0}-3}.

Passo 4

Calculando em cada polo:
Em z=1:
2z-3\big|_{z=1}=2\cdot1-3=-1, \qquad \operatorname{sen}(\pi\cdot1^{2})+\cos(\pi\cdot1^{2})=0+(-1)=-1,
\operatorname{Res}(f,1)=\frac{-1}{-1}=1.
Em z=2:
2z-3\big|_{z=2}=4-3=1, \qquad \operatorname{sen}(\pi\cdot2^{2})+\cos(\pi\cdot2^{2}) =\operatorname{sen}(4\pi)+\cos(4\pi)=0+1=1,
\operatorname{Res}(f,2)=\frac{1}{1}=1.

Passo 5

A soma dos resíduos dentro de C é
\sum \operatorname{Res}(f,z_{k})=1+1=2.
Pelo Teorema dos Resíduos,
\int_{C}f(z)\,dz =2\pi i\;\sum \operatorname{Res}(f,z_{k}) =2\pi i\cdot2 =4\pi i.

Resposta

\displaystyle 4\pi i

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