Seja z=x+i y. Calcule os valores de x e y que satisfazem a equação z1+barz=3 Represente as soluções no plano complexo. Indique no plano complexo as medidas r e theta sabendo que z=r e^i theta.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
z1+z = 3
onde z = x + i y. Vamos usar álgebra de números complexos: escrever z e z em função de x e y, igualar partes real e imaginária e depois representar a solução no plano complexo em forma polar r e^itheta.

Passo 2

Escrevendo z = x + i y e z = x - i y, a equação fica
x + i y1 + (x - i y) = 3
Multiplicando em cruz, obtemos
x + i y = 3l(1 + x - i yr)

Passo 3

Expandindo o lado direito:
x + i y = 3 + 3x - 3 i y
Agora igualamos as partes real e imaginária:
Real: x = 3 + 3x.
Imaginário: y = -3y.

Passo 4

Resolvendo o sistema:
Da parte real,
x = 3 + 3x ;;Longrightarrow;; -2x = 3 ;;Longrightarrow;; x = -tfrac32
Da parte imaginária,
y = -3y ;;Longrightarrow;; 4y = 0 ;;Longrightarrow;; y = 0

Passo 5

A solução em coordenadas retangulares é o ponto
l(x,yr) = l(-tfrac32,,0r)
no plano complexo.
Para a forma polar z = r e^itheta:
r = lvert zrvert = llvert -tfrac32rrvert = tfrac32,
e como o ponto fica no eixo real negativo,
theta = pi

Resposta

x = -tfrac32, y = 0, r = tfrac32, theta = pi

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