Seja
. Calcule os vetores
,
e
.
Seja \vec{r}(t)=(\cos t, \sin t, 0). Calcule os vetores \vec{T}(t), \vec{N}(t) e \vec{B}(t).

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica \vec r(t) = (\cos t, \sin t, 0) no plano xy e pede os vetores de Frenet: o tangente unitário \vec T(t), o normal principal \vec N(t) e o binormal \vec B(t). Para isso vamos derivar \vec r, normalizar e usar produto vetorial.

Passo 2

Derivando \vec r(t) obtemos
\vec r\,'(t) = (-\sin t, \cos t, 0).
O módulo é
\|\vec r\,'(t)\| = \sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t} = 1.
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\vec T(t) = \frac{\vec r\,'(t)}{\|\vec r\,'(t)\|} = (-\sin t, \cos t, 0).

Passo 3

Derivamos \vec T(t):
\vec T\,'(t) = (-\cos t, -\sin t, 0),
com módulo
\|\vec T\,'(t)\| = \sqrt{\cos^2 t + \sin^2 t} = 1.
Assim o normal principal é
\vec N(t) = \frac{\vec T\,'(t)}{\|\vec T\,'(t)\|} = (-\cos t, -\sin t, 0).

Passo 4

O binormal é
\vec B(t) = \vec T(t)\times\vec N(t) = (-\sin t,\cos t,0)\times(-\cos t,-\sin t,0) = (0,0,\sin^2t+\cos^2t) = (0,0,1).

Resposta

\vec T(t) = (-\sin t, \cos t, 0) \vec N(t) = (-\cos t, -\sin t, 0) \vec B(t) = (0,0,1)

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