Dada
e
, calcule
usando a definição do produto escalar.
Dada \vec{r}(t)=\left(e^{t}, \ln t\right) e f(t)=\vec{r}(t) \cdot \vec{r}(-t), calcule f^{\prime}(t) usando a definição do produto escalar.

Passo 1

O enunciado nos dá a função vetorial
\vec r(t)=\bigl(e^{t},\ln t\bigr)
e define
f(t)=\vec r(t)\cdot\vec r(-t).
Queremos calcular f'(t) usando a definição do produto escalar e as regras de derivação.

Passo 2

Pela definição do produto escalar em \mathbb R^2,
f(t)=\vec r(t)\cdot\vec r(-t) =e^{t}\,e^{-t}+\ln t\;\ln(-t).
Como e^{t}e^{-t}=1,
f(t)=1+\ln t\;\ln(-t).

Passo 3

Para derivar f(t), usamos que a derivada de uma soma é a soma das derivadas:
f'(t)=\frac{d}{dt}\bigl[1\bigr]+\frac{d}{dt}\bigl(\ln t\;\ln(-t)\bigr).
Note que \frac{d}{dt}[1]=0, então resta derivar o produto \ln t\cdot\ln(-t).

Passo 4

Aplicando a regra do produto,
\frac{d}{dt}\bigl(\ln t\;\ln(-t)\bigr) =\bigl(\tfrac{d}{dt}\ln t\bigr)\,\ln(-t) +\ln t\;\bigl(\tfrac{d}{dt}\ln(-t)\bigr).
Sabemos que
\frac{d}{dt}\ln t=\frac1t, \qquad \frac{d}{dt}\ln(-t) =\frac{(-1)}{-t}=\frac1t.
Logo
\frac{d}{dt}\bigl(\ln t\;\ln(-t)\bigr) =\frac1t\,\ln(-t)+\ln t\,\frac1t =\frac{\ln(-t)+\ln t}{t}.

Resposta

f'(t)=\frac{\ln(-t)+\ln t}{t}.

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