Considere a curva C dada pela circunferência x^{2}+y^{2}=1, orientada no sentido antihorário. O valor da integral de linha \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} é:
(a) 0
(b) \pi
(c) 2 \pi
(d) -2 \pi
(e) 4 \pi
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Campo vetorial dado: \mathbf{F}(x,y) = (y, x). Ou seja, a primeira componente P(x,y)=y e a segunda componente Q(x,y)=x.
Curva C: circunferência unitária x^{2}+y^{2}=1, orientada no sentido antihorário (contrário ao sentido dos ponteiros do relógio).
O que é pedido: calcular a integral de linha fechada \displaystyle \int_{C} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.
Passo 2
Entender uma propriedade útil: quando um campo vetorial em \mathbb{R}^2 é gradiente de uma função escalar (ou seja, é conservativo), a integral de linha ao longo de qualquer curva fechada é zero. Vou checar se \mathbf{F} é conservativo.
Definição prática: para \mathbf{F}=(P,Q) com derivadas contínuas em um domínio simplesmente conexo, uma condição necessária e suficiente para \mathbf{F} ser conservativo é
Como \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}=1, a condição é satisfeita. O domínio natural do campo é todo \mathbb{R}^2, que é simplesmente conexo. Portanto \mathbf{F} é conservativo.
Passo 3
Achar uma potencial \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}. Isso significa
No caso de uma curva fechada, A=B, portanto a integral ao longo de qualquer curva fechada é zero:
\oint_{C}\nabla\varphi\cdot d\mathbf{r}=0.
Como \mathbf{F}=\nabla\varphi, concluímos já que
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=0.
Passo 5
(Sobre a escolha do método: tomei o caminho de verificar que o campo é conservativo e usar potencial, porque isso é rápido e elegante. Se preferir, dá para confirmar por parametrização explícita — vou fazer essa confirmação como checagem, passo a passo, para que fique bem claro como proceder na prova caso não lembre do teste de conservatividade.)
Parametrização da circunferência unitária no sentido antihorário:
Resumo final e encorajamento rápido: tanto pela existência da potencial \varphi(x,y)=xy (imediatamente dando integral nula em qualquer curva fechada) quanto pela parametrização direta (integral de \cos(2t) sobre um período inteiro) obtemos o mesmo resultado: a integral vale zero. Boa — problema resolvido!