Seja o campo vetorial
\mathbf{F}(x, y)=(y, x)
Considere a curva C dada pela circunferência x^{2}+y^{2}=1, orientada no sentido antihorário. O valor da integral de linha \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} é:
(a) 0
(b) \pi
(c) 2 \pi
(d) -2 \pi
(e) 4 \pi

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Campo vetorial dado: \mathbf{F}(x,y) = (y, x). Ou seja, a primeira componente P(x,y)=y e a segunda componente Q(x,y)=x.
  • Curva C: circunferência unitária x^{2}+y^{2}=1, orientada no sentido antihorário (contrário ao sentido dos ponteiros do relógio).
  • O que é pedido: calcular a integral de linha fechada \displaystyle \int_{C} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.

Passo 2

Entender uma propriedade útil: quando um campo vetorial em \mathbb{R}^2 é gradiente de uma função escalar (ou seja, é conservativo), a integral de linha ao longo de qualquer curva fechada é zero. Vou checar se \mathbf{F} é conservativo.
Definição prática: para \mathbf{F}=(P,Q) com derivadas contínuas em um domínio simplesmente conexo, uma condição necessária e suficiente para \mathbf{F} ser conservativo é
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
Aqui P(x,y)=y e Q(x,y)=x.
Calcular as derivadas parciais:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(y)=1, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x)=1.
Como \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}=1, a condição é satisfeita. O domínio natural do campo é todo \mathbb{R}^2, que é simplesmente conexo. Portanto \mathbf{F} é conservativo.

Passo 3

Achar uma potencial \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}. Isso significa
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=P(x,y)=y, \qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=Q(x,y)=x.
Integrar \dfrac{\partial \varphi}{\partial x}=y em relação a x:
\varphi(x,y)=\int y\,dx = xy + g(y),
onde g(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y.
Agora derivar essa expressão em relação a y e igualar a \dfrac{\partial \varphi}{\partial y}=x:
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=x + g'(y)=x.
Daí g'(y)=0, logo g(y) é constante. Podemos escolher \varphi(x,y)=xy (constante irrelevante).
Então \varphi(x,y)=xy é uma função potencial: \nabla\varphi=(y,x)=\mathbf{F}.

Passo 4

Aplicar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha (para campos conservativos): para qualquer curva orientada que vai de um ponto A até um ponto B,
\int_{A}^{B}\nabla\varphi\cdot d\mathbf{r}=\varphi(B)-\varphi(A).
No caso de uma curva fechada, A=B, portanto a integral ao longo de qualquer curva fechada é zero:
\oint_{C}\nabla\varphi\cdot d\mathbf{r}=0.
Como \mathbf{F}=\nabla\varphi, concluímos já que
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=0.

Passo 5

(Sobre a escolha do método: tomei o caminho de verificar que o campo é conservativo e usar potencial, porque isso é rápido e elegante. Se preferir, dá para confirmar por parametrização explícita — vou fazer essa confirmação como checagem, passo a passo, para que fique bem claro como proceder na prova caso não lembre do teste de conservatividade.)
Parametrização da circunferência unitária no sentido antihorário:
\mathbf{r}(t)=(\cos t,\sin t),\qquad 0\le t\le 2\pi.
Derivada:
\mathbf{r}'(t)=(-\sin t,\cos t).
Avaliar \mathbf{F} ao longo da curva:
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=(\sin t,\cos t).
Produto escalar:
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)=(\sin t)(-\sin t)+(\cos t)(\cos t)=-\sin^{2}t+\cos^{2}t=\cos(2t).

Passo 6

Integrar ao longo do intervalo t\in[0,2\pi]:
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{0}^{2\pi}\cos(2t)\,dt.
Calcule a integral:
\int_{0}^{2\pi}\cos(2t)\,dt=\left.\frac{1}{2}\sin(2t)\right|_{0}^{2\pi}=\frac{1}{2}\big(\sin(4\pi)-\sin(0)\big)=\frac{1}{2}(0-0)=0.
Isso confirma a conclusão do método do potencial.

Passo 7

Resumo final e encorajamento rápido: tanto pela existência da potencial \varphi(x,y)=xy (imediatamente dando integral nula em qualquer curva fechada) quanto pela parametrização direta (integral de \cos(2t) sobre um período inteiro) obtemos o mesmo resultado: a integral vale zero. Boa — problema resolvido!

Resposta

(a) 0

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