Seja a integral iterada
\int_{0}^{1} \int_{0}^{x^{2}}(x+y) d y d x
O valor dessa integral é:
(a) \frac{1}{6}
(b) \frac{1}{4}
(c) \frac{1}{3}
(d) \frac{5}{12}
(e) \frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado dá a integral iterada
\int_{0}^{1}\int_{0}^{x^{2}}(x+y)\,dy\,dx
O que se pede é o valor numérico dessa integral. Informações relevantes fornecidas:
  • O intervalo externo é [0,1] para x.
  • Para cada x fixo, y varia de 0 até x^{2}.
  • A função a integrar é x+y.

Passo 2

Estratégia escolhida (e por quê): vamos calcular primeiro a integral interna em y (já que os limites para y são dados em termos de x), obtendo uma função de x, e depois integrar essa função em x. Isso é o procedimento padrão para integrais iteradas: tratar a variável de integração atual como variável e as outras como constantes.
Lembrete rápido das regras que vamos usar:
  • Se a é constante em relação a y, então \displaystyle \int a\,dy = a\,y + C.
  • Para potências, \displaystyle \int y^{n}\,dy = \frac{y^{n+1}}{n+1} + C quando n\neq -1.
    Aqui x será constante ao integrar em y.

Passo 3

Calcular a integral interna em y:
\int_{0}^{x^{2}}(x+y)\,dy.
Separe em duas integrais (linearidade):
\int_{0}^{x^{2}} x\,dy \;+\; \int_{0}^{x^{2}} y\,dy.
Agora aplique as regras:
  • \displaystyle \int_{0}^{x^{2}} x\,dy = x\left[y\right]_{0}^{x^{2}} = x\cdot x^{2} - x\cdot 0 = x^{3}.
  • \displaystyle \int_{0}^{x^{2}} y\,dy = \left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{x^{2}} = \frac{(x^{2})^{2}}{2} - 0 = \frac{x^{4}}{2}.
Somando,
\int_{0}^{x^{2}}(x+y)\,dy = x^{3} + \frac{x^{4}}{2}.

Passo 4

Agora integramos em x no intervalo [0,1]:
\int_{0}^{1}\left(x^{3} + \frac{x^{4}}{2}\right)\,dx = \int_{0}^{1} x^{3}\,dx \;+\; \frac{1}{2}\int_{0}^{1} x^{4}\,dx.
Calcule cada integral usando \displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}:
\int_{0}^{1} x^{3}\,dx = \left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4}.
\int_{0}^{1} x^{4}\,dx = \left[\frac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{5}, \quad\text{logo}\quad \frac{1}{2}\int_{0}^{1} x^{4}\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5} = \frac{1}{10}.
Somando as duas parcelas:
\frac{1}{4} + \frac{1}{10} = \frac{5}{20} + \frac{2}{20} = \frac{7}{20}.

Passo 5

Verificação por troca da ordem de integração (checagem extra, bom hábito). A região de integração é
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\;0\le y\le x^{2}\}.
Se trocarmos a ordem, y varia de 0 a 1 e, para um y fixo, x varia de \sqrt{y} a 1. A integral vira
\int_{0}^{1}\int_{\sqrt{y}}^{1}(x+y)\,dx\,dy.
Calculando rapidamente:
\int_{\sqrt{y}}^{1}(x+y)\,dx = \left[\frac{x^{2}}{2}+yx\right]_{\sqrt{y}}^{1} = \left(\frac{1}{2}+y\right)-\left(\frac{y}{2}+y^{3/2}\right) = \frac{1}{2}+\frac{y}{2}-y^{3/2}.
Integrando em y de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{2}+\frac{y}{2}-y^{3/2}\right)dy = \frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{2}{5} = \frac{10+5-8}{20}=\frac{7}{20}.
Concorda com o cálculo anterior, portanto o valor está confirmado.

Passo 6

Interpretação final em contexto de múltipla escolha: o valor exato da integral é \frac{7}{20}. Observação: nenhuma das alternativas fornecidas em (a)–(e) coincide com \frac{7}{20}.

Resposta

\frac{7}{20}

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