Seja a integral iterada
O valor dessa integral é:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado dá a integral iterada
O que se pede é o valor numérico dessa integral. Informações relevantes fornecidas:
- O intervalo externo é
para . - Para cada
fixo, varia de até . - A função a integrar é
.
Passo 2
Estratégia escolhida (e por quê): vamos calcular primeiro a integral interna em
(já que os limites para
são dados em termos de
), obtendo uma função de
, e depois integrar essa função em
. Isso é o procedimento padrão para integrais iteradas: tratar a variável de integração atual como variável e as outras como constantes.
Lembrete rápido das regras que vamos usar:
- Se
é constante em relação a , então . - Para potências,
quando .
Aquiserá constante ao integrar em .
Passo 3
Calcular a integral interna em
:
Separe em duas integrais (linearidade):
Agora aplique as regras:
Somando,
Passo 4
Agora integramos em
no intervalo
:
Calcule cada integral usando
:
Somando as duas parcelas:
Passo 5
Verificação por troca da ordem de integração (checagem extra, bom hábito). A região de integração é
Se trocarmos a ordem,
varia de
a
e, para um
fixo,
varia de
a
. A integral vira
Calculando rapidamente:
Integrando em
de
a
:
Concorda com o cálculo anterior, portanto o valor está confirmado.
Passo 6
Interpretação final em contexto de múltipla escolha: o valor exato da integral é
. Observação: nenhuma das alternativas fornecidas em (a)–(e) coincide com
.