Seja
. Se
, determine o valor de
.
Passo 1
Então, temos uma matriz
definida por:
O enunciado diz que a soma de
com a sua transposta
é igual à matriz identidade
. Vamos usar conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes transpostas e propriedades das funções trigonométricas, para encontrar o valor de
.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a transposta da matriz
, que é
. A transposta de uma matriz troca suas linhas por colunas. Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos somar
com
:
Observamos que os termos com
se cancelam, resultando em uma matriz diagonal onde os elementos da diagonal principal são
.
Passo 4
Segundo o enunciado, essa soma deve ser igual à matriz identidade
:
Isso significa que os elementos correspondentes das duas matrizes devem ser iguais.
Passo 5
Igualando os elementos das diagonais principais:
Para encontrar
, dividimos ambos os lados por 2:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar os valores de
que satisfazem
. Sabemos que:
Portanto, os valores de
são
e
mais múltiplos inteiros de
.
Resposta
Os valores de
que satisfazem a equação
são: