Seja A=[cccos alpha & -sin alpha sin alpha & cos alpha]. Se A+A^t=I2, determine o valor de alpha.

Passo 1

Então, temos uma matriz A = cos alpha & -sin alpha sin alpha & cos alpha definida por:
O enunciado diz que a soma de com a sua transposta é igual à matriz identidade . Vamos usar conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes transpostas e propriedades das funções trigonométricas, para encontrar o valor de .

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a transposta da matriz A^t = cos alpha & sin alpha -sin alpha & cos alpha , que é . A transposta de uma matriz troca suas linhas por colunas. Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos somar A + A^t = cos alpha & -sin alpha sin alpha & cos alpha + cos alpha & sin alpha -sin alpha & cos alpha = 2cos alpha & 0 0 & 2cos alpha com :
Observamos que os termos com se cancelam, resultando em uma matriz diagonal onde os elementos da diagonal principal são .

Passo 4

Segundo o enunciado, essa soma deve ser igual à matriz identidade A + A^t = I2 implies 2cos alpha & 0 0 & 2cos alpha = 1 & 0 0 & 1 :
Isso significa que os elementos correspondentes das duas matrizes devem ser iguais.

Passo 5

Igualando os elementos das diagonais principais:
2cos alpha = 1
Para encontrar cos alpha = 12 , dividimos ambos os lados por 2:

Passo 6

Agora, precisamos encontrar os valores de cos alpha = 12 implies alpha = pi3 + 2kpi ou alpha = 5pi3 + 2kpi para todo k in Z que satisfazem . Sabemos que:
Portanto, os valores de são e mais múltiplos inteiros de .

Resposta

Os valores de alpha = pi3 + 2kpi ou alpha = 5pi3 + 2kpi para todo k in Z que satisfazem a equação são:

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