Use matrizes para resolver o sistem linear abaixo. Indique explicitamente as operações elementares utilizadas.
l x+3 y+z+w=3 2 x-2 y+z+2 w=8 3 x+y+2 z-w=-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando matrizes! O que a gente tem aqui são três equações com quatro variáveis: e . Para resolver isso, vamos usar matrizes aumentadas e operações elementares de linha. Basicamente, a gente vai colocar as equações em forma de matriz e fazer umas manobras para encontrar os valores das variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema como uma matriz aumentada. Isso significa que colocamos os coeficientes das variáveis e os resultados das equações em uma única matriz:
1 & 3 & 1 & 1 & | & 3 2 & -2 & 1 & 2 & | & 8 3 & 1 & 2 & -1 & | & -1

Passo 3

Agora, vamos usar a eliminação de Gauss para simplificar a matriz. O primeiro passo é deixar o primeiro elemento da primeira coluna igual a 1, o que já está feito.

Passo 4

Vamos eliminar os elementos abaixo do primeiro 1 na primeira coluna. Para isso:
  • Linha 2: Subtrair 2 vezes a Linha 1 da Linha 2.
  • Linha 3: Subtrair 3 vezes a Linha 1 da Linha 3.
Fazendo essas operações:
Para a Linha 2:
1 & 3 & 1 & 1 & | & 3 0 & -8 & -1 & 0 & | & 2 0 & -8 & -1 & -4 & | & -10



Para a Linha 3:




Então, a matriz fica assim:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a Linha 2 dividindo todos os seus elementos por -8 para deixar o coeficiente de 1 & 3 & 1 & 1 & | & 3 0 & 1 & 18 & 0 & | & -14 0 & -8 & -1 & -4 & | & -10 igual a 1:

Passo 6

Em seguida, vamos eliminar o -8 na terceira linha da segunda coluna usando a Linha 2. Para isso, adicionamos 8 vezes a Linha 2 à Linha 3:
1 & 3 & 1 & 1 & | & 3 0 & 1 & 18 & 0 & | & -14 0 & 0 & 0 & -4 & | & -12



A matriz fica:

Passo 7

Agora, vamos simplificar a terceira linha dividindo todos os seus elementos por -4 para deixar o coeficiente de 1 & 3 & 1 & 1 & | & 3 0 & 1 & 18 & 0 & | & -14 0 & 0 & 0 & 1 & | & 3 igual a 1:

Passo 8

Vamos agora substituir o valor de w = 3 na primeira e na segunda equação para encontrar x + 3y + z + 3 = 3 e x + 3y + z = 0 (Equação 1') .
Da Linha 3, já sabemos que:
y + 18z = -14 (Equação 2')
Substituindo na Linha 1:

Simplificando:
çã
Substituindo na Linha 2:
çã

Passo 9

Agora, vamos resolver Equação 2’ para y = -14 - 18z :
y = -14 - 18t
Isso nos mostra que depende de . Como temos menos equações que variáveis, vamos escolher como uma variável livre. Vamos chamar , onde pode ser qualquer número real.
Então:

Passo 10

Agora, substituímos x + 3(-14 - 18t) + t = 0 e x - 34 - 38t + t = 0 em Equação 1’ para encontrar x + 58t = 34 :
x = 34 - 58t
Simplificando:

Resposta

As soluções do sistema são:
x = 34 - 58t y = -14 - 18t z = t w = 3
onde é qualquer número real.

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