1. Seja A o conjunto \left\{(0, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; z^{2}+(y-2)^{2}=1\right\} ache a área da superfície gerada pela rotação em torno do eixo O z do conjunto A.
    \sigma(u, v)=(u-v, u+v, 2 u+v+1) onde 0 \leq u \leq 1 e 0 \leq v \leq u;

Passo 1

O enunciado diz que
\displaystyle A=\{(0,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid z^2+(y-2)^2=1\}
é o círculo de raio 1 no plano x=0, centrado em (0,2,0). Pede-se a área da superfície obtida ao girar esse círculo em torno do eixo O z.

Passo 2

O círculo gerador tem raio menor
r = 1
e seu centro está a uma distância do eixo O z igual a
R = \text{distância de }(0,2,0)\text{ ao eixo }z = 2.â

Passo 3

Ao girar esse círculo em torno do eixo O z obtemos um toro de raio maior R e raio menor r. A área de superfície de um toro é dada pela fórmula
\text{Área} = 4\pi^2\,R\,r.Á

Passo 4

Substituindo R=2 e r=1 na fórmula, vem
\text{Área} = 4\pi^2\times 2\times1 = 8\pi^2.Á

Resposta

A área da superfície gerada é 8\pi^2.

Exercícios relacionados