Seja V o conjunto das matrizes reais 2 \times 2. Represente uma matriz arbitrária A de V como soma:
de uma matriz C que é múltipla da identidade com outra B tal que b_{11}+b_{12}+b_{22}=0.

Passo 1

O enunciado pede: representar uma matriz arbitrária A\in V (matrizes reais 2\times2) como soma de
  • uma matriz C que é múltipla da identidade, e
  • outra matriz B tal que b_{11}+b_{12}+b_{22}=0.
Informações dadas (peguei tudo do próprio enunciado):
  • A é uma matriz arbitrária 2\times2; escrevemos suas entradas como
A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\[4pt] a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}.
  • Queremos encontrar C da forma “múltiplo da identidade” e B com a condição linear
b_{11}+b_{12}+b_{22}=0.]

Passo 2

Escolha natural: procurar C como um múltiplo escalar t da matriz identidade I. Ou seja, seja
C=tI=\begin{pmatrix} t & 0 \\[4pt] 0 & t \end{pmatrix},
com t\in\mathbb{R} desconhecido. Então definimos
B=A-C=A-tI.
Vamos escrever explicitamente as entradas de B em termos das entradas de A e do escalar t.]

Passo 3

Substituindo, obtemos
B=\begin{pmatrix} a_{11}-t & a_{12} \\[4pt] a_{21} & a_{22}-t \end{pmatrix}.
Agora impomos a condição pedida para B:
b_{11}+b_{12}+b_{22}=(a_{11}-t)+a_{12}+(a_{22}-t)=0.
Desenvolvendo essa equação:
a_{11}+a_{12}+a_{22}-2t=0.
Isolando t,
2t=a_{11}+a_{12}+a_{22}\quad\Rightarrow\quad t=\frac{a_{11}+a_{12}+a_{22}}{2}.]

Passo 4

Substituindo o valor de t encontrado em C e B, obtemos as expressões finais:
C=\frac{a_{11}+a_{12}+a_{22}}{2}\,I =\begin{pmatrix}\dfrac{a_{11}+a_{12}+a_{22}}{2} & 0 \\[6pt] 0 & \dfrac{a_{11}+a_{12}+a_{22}}{2}\end{pmatrix},
B=A-C= \begin{pmatrix} a_{11}-\dfrac{a_{11}+a_{12}+a_{22}}{2} & a_{12} \\[6pt] a_{21} & a_{22}-\dfrac{a_{11}+a_{12}+a_{22}}{2} \end{pmatrix}.
Pode-se verificar diretamente que, com esse t, vale
b_{11}+b_{12}+b_{22}=0,
pois a soma reduz precisamente a zero pela escolha de t.]

Passo 5

Comentário sobre unicidade (útil para a prova): se houvesse outra decomposição
A=sI+B',\qquad b'_{11}+b'_{12}+b'_{22}=0,
então subtraindo as decomposições:
(t-s)I = B'-B.
Somando as entradas (1,1),(1,2),(2,2) de ambos os lados obtém-se 2(t-s)=0, logo t=s. Assim a escolha de t acima é única e a decomposição é única.

Passo 6

Exemplo numérico rápido para fixar a ideia: seja
A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 3 & 4\end{pmatrix}.
Então
t=\frac{1+2+4}{2}=\frac{7}{2}=3{,}5,
C=3{,}5\,I=\begin{pmatrix}3{,}5 & 0 \\[4pt] 0 & 3{,}5\end{pmatrix}, \qquad B=A-C=\begin{pmatrix}-2{,}5 & 2 \\[4pt] 3 & 0{,}5\end{pmatrix},
e de fato -2{,}5+2+0{,}5=0.]

Resposta

C=\frac{a_{11}+a_{12}+a_{22}}{2}\,I
B=A-C= \begin{pmatrix} a_{11}-\dfrac{a_{11}+a_{12}+a_{22}}{2} & a_{12} \\[6pt] a_{21} & a_{22}-\dfrac{a_{11}+a_{12}+a_{22}}{2} \end{pmatrix}]

Exercícios relacionados