Para um espaço vetorial arbitrário (V, \oplus, \odot), prove as seguintes propriedades:
Se r \odot u=r \odot v e se r \neq 0 então u=v.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Há um espaço vetorial arbitrário (V,\oplus,\odot) sobre um corpo de escalares F.
  • São dados r\in F e u,v\in V tais que r\odot u = r\odot v.
  • Além disso, sabe-se que r \neq 0.
  • O que se pede: provar que u = v.
Informações relevantes (retiradas do enunciado e das propriedades de um espaço vetorial):
  • Como V é um espaço vetorial sobre F, vale a propriedade associativa da multiplicação escalar: para quaisquer a,b\in F e w\in V tem-se (ab)\odot w = a\odot(b\odot w).
  • Em F, todo elemento r\neq 0 possui inverso multiplicativo r^{-1} tal que r^{-1}r = 1.
  • Em um espaço vetorial, 1\odot w = w para todo w\in V.

Passo 2

Estratégia básica (sem resolver ainda): aplicar o escalar inverso r^{-1} (que existe porque r\neq 0) aos dois lados da igualdade r\odot u = r\odot v. Isso é legítimo porque a igualdade em V permanece se multiplicarmos ambos os lados por um mesmo escalar.
Começando a operação:
r^{-1}\odot\bigl(r\odot u\bigr) \;=\; r^{-1}\odot\bigl(r\odot v\bigr).

Passo 3

Usar a propriedade associativa da multiplicação escalar para reescrever cada lado:
r^{-1}\odot\bigl(r\odot u\bigr) = (r^{-1}r)\odot u, \qquad r^{-1}\odot\bigl(r\odot v\bigr) = (r^{-1}r)\odot v.
Aqui foi usada a identidade: para quaisquer a,b\in F e w\in V, (ab)\odot w = a\odot(b\odot w).

Passo 4

Calcular r^{-1}r no corpo F: por definição de inverso multiplicativo,
r^{-1}r = 1.
Substituindo nas expressões do passo anterior e usando a propriedade do elemento neutro escalar em V (isto é, 1\odot w = w para todo w\in V), obtemos
(r^{-1}r)\odot u = 1\odot u = u, \qquad (r^{-1}r)\odot v = 1\odot v = v.

Passo 5

Juntando tudo: a igualdade do Passo 2 levou a
u = v.
Portanto, se r\odot u = r\odot v com r\neq 0, então necessariamente u=v.

Resposta

u=v

Exercícios relacionados