Para um espaço vetorial arbitrário
, prove as seguintes propriedades:
Se
e se
então
.
Se
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Há um espaço vetorial arbitrário
sobre um corpo de escalares . - São dados
e tais que . - Além disso, sabe-se que
. - O que se pede: provar que
.
Informações relevantes (retiradas do enunciado e das propriedades de um espaço vetorial):
- Como
é um espaço vetorial sobre , vale a propriedade associativa da multiplicação escalar: para quaisquer e tem-se . - Em
, todo elemento possui inverso multiplicativo tal que . - Em um espaço vetorial,
para todo .
Passo 2
Estratégia básica (sem resolver ainda): aplicar o escalar inverso
(que existe porque
) aos dois lados da igualdade
. Isso é legítimo porque a igualdade em
permanece se multiplicarmos ambos os lados por um mesmo escalar.
Começando a operação:
Passo 3
Usar a propriedade associativa da multiplicação escalar para reescrever cada lado:
Aqui foi usada a identidade: para quaisquer
e
,
.
Passo 4
Calcular
no corpo
: por definição de inverso multiplicativo,
Substituindo nas expressões do passo anterior e usando a propriedade do elemento neutro escalar em
(isto é,
para todo
), obtemos
Passo 5
Juntando tudo: a igualdade do Passo 2 levou a
Portanto, se
com
, então necessariamente
.