(2) Seja
contínua em
, com
em
. Denote por
a região do plano limitado pelas retas
, pelo eixo
e pelo gráfico de
. O volume
do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto
, é dado por
Calcule
nas seguintes situações:
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região
que é um disco de raio
centrado em
. O conteúdo é sólido de revolução e vamos usar o método dos discos (ou “washers”), em que cada fatiamento em
gera um anel de volume diferencial.
Passo 2
Para cada
com
, a região
dá
Esses serão os raios externo e interno dos discos ao rotacionar em torno de
.
Passo 3
Pelo método dos discos, o volume diferencial é
e o volume total é
Passo 4
Observe que
Logo
Passo 5
Sabemos que
pois é a área de um semicírculo de raio 1. Portanto