(2) Seja f contínua em [a, b], com f(x) \geq 0 em [a, b]. Denote por A a região do plano limitado pelas retas x=a, x=b, pelo eixo x e pelo gráfico de y=f(x). O volume V do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto A, é dado por
V=\int_{a}^{b} \pi[f(x)]^{2} d x
Calcule V nas seguintes situações:
A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x^{2}+(y-2)^{2} \leq 1\right\}.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x, da região
A = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^2 + (y-2)^2 \le 1\},
que é um disco de raio 1 centrado em (0,2). O conteúdo é sólido de revolução e vamos usar o método dos discos (ou “washers”), em que cada fatiamento em x gera um anel de volume diferencial.

Passo 2

Para cada x com -1 \le x \le 1, a região A
y_{\text{superior}}(x) = 2 + \sqrt{1 - x^2}, \qquad y_{\text{inferior}}(x) = 2 - \sqrt{1 - x^2}.
Esses serão os raios externo e interno dos discos ao rotacionar em torno de x.

Passo 3

Pelo método dos discos, o volume diferencial é
dV = \pi\bigl[y_{\text{superior}}(x)\bigr]^2\,dx \;-\;\pi\bigl[y_{\text{inferior}}(x)\bigr]^2\,dx
e o volume total é
V = \int_{-1}^{1} \pi\Bigl(y_{\text{superior}}^2 - y_{\text{inferior}}^2\Bigr)\,dx.

Passo 4

Observe que
y_{\text{superior}}^2 - y_{\text{inferior}}^2 = \bigl(y_{\text{superior}}-y_{\text{inferior}}\bigr)\bigl(y_{\text{superior}}+y_{\text{inferior}}\bigr) = \bigl(2\sqrt{1-x^2}\bigr)\bigl(4\bigr) = 8\sqrt{1-x^2}.
Logo
V = \int_{-1}^{1} \pi\bigl[8\sqrt{1-x^2}\bigr]\,dx = 8\pi \int_{-1}^{1} \sqrt{1-x^2}\,dx.

Passo 5

Sabemos que
\int_{-1}^{1} \sqrt{1-x^2}\,dx = \frac{\pi}{2},
pois é a área de um semicírculo de raio 1. Portanto
V = 8\pi \cdot \frac{\pi}{2} = 4\pi^2.

Resposta

V = 4\pi^2.

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