(4) Mostre que, para todo
, vale a expressão:
(5) Num cálculo com integrais, um estudante desenvolveu o seguinte raciocínio: fazendo a mudança de variável
na integral
, obtemos
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Mostrar a fórmula da integral indefinida
- Analisar o “cálculo” do estudante que, ao fazer
na integral definida
concluiu
, o que leva a
. Vamos usar substituições adequadas e discutir domínio e integral imprópria.
Passo 2
Para
fazemos a mudança de variável
Substituindo,
Passo 3
Sabemos que
Voltando a
,
Passo 4
Agora, para a integral definida
o estudante faz
, obtendo
. Ele escreve
Mas essa troca falha porque
não é contínua nem bijetora em
: em
há singularidade e a integral em torno de zero é imprópria.
Passo 5
O correto é notar que
é função par e contínua em
, logo
Passo 6
O erro do estudante está em aplicar uma mudança de variável que atravessa
sem reconhecer que a integral fica imprópria e exige separação em
. Na prática,
inverte monotonia em cada ramo e troca limites de forma incorreta, levando ao cancelamento artificial.
Resposta
-
- A conclusão
é falsa porque a mudança cruza a singularidade em e não pode ser aplicada diretamente; de fato .