(4) Mostre que, para todo a \neq 0, vale a expressão:
\int \frac{d x}{a^{2}+x^{2}}=\frac{1}{a} \operatorname{arctg}\left(\frac{x}{a}\right)+C, \text { sendo } C \in \mathbb{R} .
(5) Num cálculo com integrais, um estudante desenvolveu o seguinte raciocínio: fazendo a mudança de variável u=\frac{1}{x} na integral I=\int_{-1}^{1} \frac{d x}{1+x^{2}}, obtemos
I=\int_{-1}^{1} \frac{d x}{1+x^{2}}=-\int_{-1}^{1} \frac{d u}{1+u^{2}}=-I

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Mostrar a fórmula da integral indefinida
\int \frac{dx}{a^{2}+x^{2}} = \frac{1}{a}\,\operatorname{arctg}\!\Bigl(\frac{x}{a}\Bigr)+C,\quad a\neq0.
  1. Analisar o “cálculo” do estudante que, ao fazer u=1/x na integral definida
I=\int_{-1}^{1}\frac{dx}{1+x^{2}},
concluiu I=-I, o que leva a I=0. Vamos usar substituições adequadas e discutir domínio e integral imprópria.

Passo 2

Para \int \frac{dx}{a^{2}+x^{2}} fazemos a mudança de variável
x = a\,t \quad\Longrightarrow\quad dx = a\,dt.
Substituindo,
\int \frac{dx}{a^{2}+x^{2}} = \int \frac{a\,dt}{a^{2}+a^{2}t^{2}} = \int \frac{a\,dt}{a^{2}(1+t^{2})} = \frac{1}{a}\int \frac{dt}{1+t^{2}}.

Passo 3

Sabemos que
\int \frac{dt}{1+t^{2}} = \operatorname{arctg}(t) + C.
Voltando a t = x/a,
\int \frac{dx}{a^{2}+x^{2}} = \frac{1}{a}\,\operatorname{arctg}\!\Bigl(\frac{x}{a}\Bigr) + C.

Passo 4

Agora, para a integral definida
I=\int_{-1}^{1}\frac{dx}{1+x^{2}},
o estudante faz u=1/x, obtendo du = -\frac{1}{x^{2}}\,dx. Ele escreve
I=\int_{-1}^{1}\frac{dx}{1+x^{2}} =-\int_{u(-1)}^{u(1)}\frac{du}{1+u^{2}} =-\int_{-1}^{1}\frac{du}{1+u^{2}}=-I.
Mas essa troca falha porque u=1/x não é contínua nem bijetora em [-1,1]: em x=0 há singularidade e a integral em torno de zero é imprópria.

Passo 5

O correto é notar que \tfrac{1}{1+x^{2}} é função par e contínua em [-1,1], logo
I = 2\int_{0}^{1}\frac{dx}{1+x^{2}} = 2\bigl[\operatorname{arctg}(x)\bigr]_{0}^{1} = 2\bigl(\tfrac{\pi}{4}-0\bigr) = \frac{\pi}{2}\neq0.

Passo 6

O erro do estudante está em aplicar uma mudança de variável que atravessa x=0 sem reconhecer que a integral fica imprópria e exige separação em \int_{-1}^{0}+\int_{0}^{1}. Na prática, u=1/x inverte monotonia em cada ramo e troca limites de forma incorreta, levando ao cancelamento artificial.

Resposta

  1. \displaystyle \int \frac{dx}{a^{2}+x^{2}} = \frac{1}{a}\,\operatorname{arctg}\!\Bigl(\frac{x}{a}\Bigr)+C.
  2. A conclusão I=-I é falsa porque a mudança u=1/x cruza a singularidade em x=0 e não pode ser aplicada diretamente; de fato I= \tfrac{\pi}{2}.

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