Conclusão sobre (a): a partir disso veremos no Passo 3, mas já se nota que X não tem massa pontual (é dada por densidade), logo é uma variável aleatória contínua com suporte [0,\infty).]
Passo 3
Obter a função de distribuição de Y. Lembremos que Y=X quando X\le3 e Y=3 quando X>3. A ideia é calcular F_Y(y)=P(Y\le y) caso a caso conforme y.
Se y<0: como X\ge0 quase certamente, Y\ge0 quase certamente; logo
F_Y(y)=0\quad\text{para }y<0.
Se 0\le y<3: um valor Y\le y só ocorre quando X\le y (pois se X>3 então Y=3>y). Portanto
F_Y(y)=P(Y\le y)=P(X\le y)=F_X(y).
Usando a fórmula de F_X obtida no Passo 2, para 0\le y<3
F_Y(y)=1-\frac{1}{1+y}=\frac{y}{1+y}.
Em y=3: Y\le3 ocorre sempre, porque se X\le3 então Y=X\le3 e se X>3 então Y=3\le3. Logo
F_Y(3)=1.
Note que o limite à esquerda em 3 é F_Y(3^-)=\dfrac{3}{1+3}=\dfrac{3}{4}, portanto há um salto em y=3 de tamanho
F_Y(3)-F_Y(3^-)=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}=P(X>3).
Esse salto é exatamente a massa de probabilidade que Y concentra no ponto 3.
Para 0\le y<3: F_Y(y)=\dfrac{y}{1+y}. Essa é uma função crescente, contínua, que em y=0 vale 0 e em y\to3^- vale \dfrac{3}{4}.
Em y=3: ocorre um salto de \dfrac{1}{4} levando o valor de \dfrac{3}{4} para 1; portanto há uma massa pontual em y=3.
Para y>3: F_Y(y)=1 (constante).
No papel, o gráfico é a curva y/(1+y) no intervalo [0,3) (começando em 0 e chegando a 3/4), com um ponto de salto até 1 em y=3, e depois uma reta horizontal em 1.
Passo 5
Determinar a natureza de Y (resposta da parte (c)).
Como F_Y possui uma parte contínua (no intervalo [0,3) a distribuição é absolutamente contínua com densidade igual à de X restrita a esse intervalo) e possui um salto em y=3 (massa pontual P(Y=3)=1/4), concluímos que Y é uma variável aleatória mista: tem uma parte contínua em [0,3) com densidade
Observação: os dois resultados coincidem porque X é contínua e Y coincide com X no intervalo [0,3] (exceto pelo fato de Y agregar massa em 3 proveniente de X>3, mas a probabilidade de X=3 é zero, portanto não altera P(2<Y<3)).
Resposta
(a) X é uma variável aleatória contínua com densidade f_X(x)=\dfrac{1}{(1+x)^2} para x\ge0 (suporte [0,\infty)).
(c) Y é uma variável mista: contínua em [0,3) com densidade f_Y(y)=\dfrac{1}{(1+y)^2} para 0\le y<3 e com massa discreta P(Y=3)=\dfrac{1}{4}.
(d) P(2<Y<3)=\dfrac{1}{12} P(2\le X\le 3)=\dfrac{1}{12}]