Seja X uma v.a. cuja densidade de probabilidade é:
f_{X}(x)=\left\{\begin{array}{cc} 0, & x<0 \\\\ 1 /(1+x)^{2}, & x \geq 0 \end{array}\right.
(a) Qual a natureza de X ?
(b) Defina
Y=\left\{\begin{array}{cc} X, & 0 \leq x \leq 3 \\\\ 3, & x>3 \end{array}\right.
Obtenha a função de distribuição da v.a. Y e construa seu gráfico.
(c) Qual a natureza de Y ?
(d) Calcule P(2<Y<3) e P(2 \leq X \leq 3).

Passo 1

O enunciado nos dá a densidade de probabilidade de X:
f_{X}(x)=\left\{\begin{array}{cc} 0, & x<0,\\[6pt] \dfrac{1}{(1+x)^{2}}, & x\ge 0. \end{array}\right.
As perguntas do enunciado são:
(a) Qual a natureza de X?
(b) Definindo
Y=\left\{\begin{array}{cc} X, & 0\le X\le 3,\\[4pt] 3, & X>3, \end{array}\right.
obter a função de distribuição de Y e construir seu gráfico.
(c) Qual a natureza de Y?
(d) Calcular P(2<Y<3) e P(2\le X\le 3).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A densidade de X é nula para x<0 e vale \dfrac{1}{(1+x)^2} para x\ge0.
  • A variável Y é igual a X quando X\le3 e igual a 3 quando X>3.]

Passo 2

Verificar que f_X é uma densidade válida e obter a função de distribuição (CDF) de X.
Primeiro, calcular a integral da densidade para verificar normalização:
\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)\,dx=\int_{0}^{\infty}\frac{1}{(1+x)^2}\,dx.
Para integrar \dfrac{1}{(1+x)^2} use a primitiva conhecida:
\int \frac{1}{(1+x)^2}\,dx = -\frac{1}{1+x}+C,
pois \dfrac{d}{dx}\big(-\tfrac{1}{1+x}\big)=\tfrac{1}{(1+x)^2}.
Assim
\int_{0}^{\infty}\frac{1}{(1+x)^2}\,dx=\lim_{b\to\infty}\left[-\frac{1}{1+x}\right]_{0}^{b} =\lim_{b\to\infty}\Big(-\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+0}\Big)=0+1=1.
Portanto f_X está normalizada.
Agora a função de distribuição F_X(x)=P(X\le x) é, para x<0, F_X(x)=0 (pois a densidade é zero lá). Para x\ge0,
F_X(x)=\int_{0}^{x}\frac{1}{(1+t)^2}\,dt=\left[-\frac{1}{1+t}\right]_{0}^{x}=1-\frac{1}{1+x}.
Podemos simplificar 1-\dfrac{1}{1+x}=\dfrac{x}{1+x}. Então, resumindo:
F_X(x)=\left\{\begin{array}{cc} 0, & x<0,\\[6pt] 1-\dfrac{1}{1+x}=\dfrac{x}{1+x}, & x\ge 0. \end{array}\right.
Conclusão sobre (a): a partir disso veremos no Passo 3, mas já se nota que X não tem massa pontual (é dada por densidade), logo é uma variável aleatória contínua com suporte [0,\infty).]

Passo 3

Obter a função de distribuição de Y. Lembremos que Y=X quando X\le3 e Y=3 quando X>3. A ideia é calcular F_Y(y)=P(Y\le y) caso a caso conforme y.
  1. Se y<0: como X\ge0 quase certamente, Y\ge0 quase certamente; logo
F_Y(y)=0\quad\text{para }y<0.
  1. Se 0\le y<3: um valor Y\le y só ocorre quando X\le y (pois se X>3 então Y=3>y). Portanto
F_Y(y)=P(Y\le y)=P(X\le y)=F_X(y).
Usando a fórmula de F_X obtida no Passo 2, para 0\le y<3
F_Y(y)=1-\frac{1}{1+y}=\frac{y}{1+y}.
  1. Em y=3: Y\le3 ocorre sempre, porque se X\le3 então Y=X\le3 e se X>3 então Y=3\le3. Logo
F_Y(3)=1.
Note que o limite à esquerda em 3 é F_Y(3^-)=\dfrac{3}{1+3}=\dfrac{3}{4}, portanto há um salto em y=3 de tamanho
F_Y(3)-F_Y(3^-)=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}=P(X>3).
Esse salto é exatamente a massa de probabilidade que Y concentra no ponto 3.
  1. Se y>3: claramente F_Y(y)=1.
Reunindo tudo, a função de distribuição de Y é
F_Y(y)=\left\{\begin{array}{cc} 0, & y<0,\\[6pt] 1-\dfrac{1}{1+y}=\dfrac{y}{1+y}, & 0\le y<3,\\[8pt] 1, & y\ge 3. \end{array}\right.]

Passo 4

Construir (descrever) o gráfico de F_Y.
  • Para y<0: F_Y(y)=0 (eixo no zero).
  • Para 0\le y<3: F_Y(y)=\dfrac{y}{1+y}. Essa é uma função crescente, contínua, que em y=0 vale 0 e em y\to3^- vale \dfrac{3}{4}.
  • Em y=3: ocorre um salto de \dfrac{1}{4} levando o valor de \dfrac{3}{4} para 1; portanto há uma massa pontual em y=3.
  • Para y>3: F_Y(y)=1 (constante).
No papel, o gráfico é a curva y/(1+y) no intervalo [0,3) (começando em 0 e chegando a 3/4), com um ponto de salto até 1 em y=3, e depois uma reta horizontal em 1.

Passo 5

Determinar a natureza de Y (resposta da parte (c)).
Como F_Y possui uma parte contínua (no intervalo [0,3) a distribuição é absolutamente contínua com densidade igual à de X restrita a esse intervalo) e possui um salto em y=3 (massa pontual P(Y=3)=1/4), concluímos que Y é uma variável aleatória mista: tem uma parte contínua em [0,3) com densidade
f_Y(y)=\frac{1}{(1+y)^2}\quad\text{para }0\le y<3,
e uma parte discreta (átomo) em y=3 com massa P(Y=3)=\tfrac{1}{4}.

Passo 6

Calcular P(2<Y<3) e P(2\le X\le 3).
Primeiro, P(2<Y<3)=F_Y(3^-)-F_Y(2). Usando os valores:
F_Y(3^-)=\frac{3}{1+3}=\frac{3}{4},\qquad F_Y(2)=\frac{2}{1+2}=\frac{2}{3}.
Logo
P(2<Y<3)=\frac{3}{4}-\frac{2}{3}=\frac{9-8}{12}=\frac{1}{12}.
Segundo, para X (variável contínua) podemos usar a CDF ou integrar a densidade:
P(2\le X\le 3)=F_X(3)-F_X(2)=\frac{3}{4}-\frac{2}{3}=\frac{1}{12}.
Alternativamente,
P(2\le X\le 3)=\int_{2}^{3}\frac{1}{(1+x)^2}\,dx=\left[-\frac{1}{1+x}\right]_{2}^{3}=\frac{1}{12}.
Observação: os dois resultados coincidem porque X é contínua e Y coincide com X no intervalo [0,3] (exceto pelo fato de Y agregar massa em 3 proveniente de X>3, mas a probabilidade de X=3 é zero, portanto não altera P(2<Y<3)).

Resposta

(a) X é uma variável aleatória contínua com densidade f_X(x)=\dfrac{1}{(1+x)^2} para x\ge0 (suporte [0,\infty)).
(b) F_Y(y)=\left\{\begin{array}{cc} 0, & y<0,\\[6pt] 1-\dfrac{1}{1+y}=\dfrac{y}{1+y}, & 0\le y<3,\\[8pt] 1, & y\ge3. \end{array}\right.
(c) Y é uma variável mista: contínua em [0,3) com densidade f_Y(y)=\dfrac{1}{(1+y)^2} para 0\le y<3 e com massa discreta P(Y=3)=\dfrac{1}{4}.
(d) P(2<Y<3)=\dfrac{1}{12}
P(2\le X\le 3)=\dfrac{1}{12}]

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