Suponha que uma moeda perfeita é lançada até que apareça cara pela primeira vez. Seja X o número de lançamentos até que isso aconteça. Obtenha a função de distribuição de probabilidade (fdp) de X. Repita o exercício supondo que a probabilidade de cara é p, 0<p<1, p \neq 1 / 2.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • Lançam-se repetições de uma moeda até aparecer cara pela primeira vez.
    • X é o número de lançamentos até que apareça cara pela primeira vez.
    • No primeiro item a moeda é “perfeita” (interpreto como moeda justa), ou seja, a probabilidade de cara é p=\tfrac{1}{2}.
    • No segundo item pede-se repetir o exercício supondo que a probabilidade de cara é p, com 0<p<1 e p\neq\tfrac{1}{2}.
  • O que o enunciado pede:
    • Obter a função de distribuição de probabilidade (fdp) de X quando p=\tfrac{1}{2}.
    • Repetir obtendo a fdp de X quando a probabilidade de cara é p\in(0,1) (com p\neq\tfrac{1}{2}).

Passo 2

Entender bem o evento \{X=k\} e as hipóteses básicas (independência, mesma probabilidade em cada lançamento).
  • Definição prática de X: X conta quantos lançamentos foram necessários até que a primeira cara apareça. Assim X toma valores inteiros positivos: X\in\{1,2,3,\dots\}.
  • Evento chave: para que X=k ocorra, nos primeiros k-1 lançamentos deve sair coroa (falha) e no k-ésimo deve sair cara (sucesso).
  • Pressuposto usado: lançamentos são independentes e cada lançamento tem a mesma probabilidade de cara p e de coroa 1-p.

Passo 3

Formulação geral do cálculo de \Pr(X=k) (razão passo a passo, intuitiva).
  • O evento \{X=k\} é a interseção dos eventos: "coroa no lançamento 1" e "coroa no lançamento 2" e … e "coroa no lançamento k-1" e "cara no lançamento k".
  • Como os lançamentos são independentes, a probabilidade dessa interseção é o produto das probabilidades: \Pr(X=k) = \underbrace{(1-p)\cdot(1-p)\cdots(1-p)}_{k-1\\ \text{vezes}}\cdot p = (1-p)^{k-1}p.
  • Conclusão geral: para qualquer p\in(0,1) e qualquer k=1,2,\dots, \Pr(X=k)=(1-p)^{k-1}p.
  • Observação intuitiva: a fórmula diz "falhas seguidas (cada com probabilidade 1-p) até a primeira falha em sequência, depois um sucesso com probabilidade p".

Passo 4

Aplicar a fórmula ao caso da moeda perfeita (moeda justa) com p=\tfrac{1}{2}.
  • Substituindo p=\tfrac{1}{2} na fórmula geral: \Pr(X=k)=(1-\tfrac{1}{2})^{k-1}\cdot\tfrac{1}{2}=(\tfrac{1}{2})^{k-1}\cdot\tfrac{1}{2}=(\tfrac{1}{2})^{k}.
  • Exemplos concretos (para fixar a ideia):
    • \Pr(X=1)=(\tfrac{1}{2})^{1}=\tfrac{1}{2}. (Cara já no primeiro lançamento.)
    • \Pr(X=2)=(\tfrac{1}{2})^{2}=\tfrac{1}{4}. (Coroa, depois cara.)
    • \Pr(X=3)=(\tfrac{1}{2})^{3}=\tfrac{1}{8}. (Coroa, coroa, cara.)

Passo 5

Verificação de que a fdp obtida é válida (soma das probabilidades = 1) — ensinando a usar série geométrica.
  • Para o caso geral, somamos \Pr(X=k) sobre k=1,2,\dots: \sum_{k=1}^{\infty}\Pr(X=k)=\sum_{k=1}^{\infty}(1-p)^{k-1}p =p\sum_{k=0}^{\infty}(1-p)^{k}.
  • Saber: para |r|<1, \sum_{k=0}^{\infty}r^{k}=\dfrac{1}{1-r}. Aqui r=1-p e como 0<p<1 temos |1-p|<1, logo a soma converge.
  • Assim \sum_{k=1}^{\infty}\Pr(X=k)=p\cdot\frac{1}{1-(1-p)}=p\cdot\frac{1}{p}=1.
  • No caso p=\tfrac{1}{2} isso vira \sum_{k=1}^{\infty}(\tfrac{1}{2})^{k}=1, confirmando que é uma fdp válida.

Passo 6

Apresentar também a função de distribuição acumulada (CDF) porque é útil na prova e é simples de obter.
  • A probabilidade de que a primeira cara ocorra em até n lançamentos é \Pr(X\le n)=\sum_{k=1}^{n}(1-p)^{k-1}p =p\cdot\frac{1-(1-p)^{n}}{1-(1-p)}=1-(1-p)^{n}.
  • Intuição: é 1 menos a probabilidade de falhar nas n primeiras tentativas, que é (1-p)^{n}.

Passo 7

Resumo final e dica prática para a prova (curtinha e encorajadora).
  • Fórmula para decorar: quando X é o número de tentativas até o primeiro sucesso em ensaios de Bernoulli independentes com probabilidade de sucesso p, \Pr(X=k)=(1-p)^{k-1}p,\qquad k=1,2,\dots
  • No caso particular da moeda justa ( p=\tfrac{1}{2}), essa fórmula vira \Pr(X=k)=(\tfrac{1}{2})^{k}.
  • Dica: na prova, escreva sempre o evento como “falha nas primeiras k-1 e sucesso no k-ésimo” e multiplique as probabilidades (independência). Isso quase sempre resolve problemas desse tipo. Você tá indo bem — isso é um clássico e vale a pena decorar a fórmula!

Resposta

\Pr(X=k)=(\tfrac{1}{2})^{k},\quad k=1,2,\dots\n \Pr(X=k)=(1-p)^{k-1}p,\quad k=1,2,\dots

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