Suponha que uma moeda perfeita é lançada até que apareça cara pela primeira vez. Seja X o número de lançamentos até que isso aconteça. Obtenha a função de distribuição de probabilidade (fdp) de X. Repita o exercício supondo que a probabilidade de cara é p, 0<p<1, p \neq 1 / 2.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados do enunciado:
Lançam-se repetições de uma moeda até aparecer cara pela primeira vez.
X é o número de lançamentos até que apareça cara pela primeira vez.
No primeiro item a moeda é “perfeita” (interpreto como moeda justa), ou seja, a probabilidade de cara é p=\tfrac{1}{2}.
No segundo item pede-se repetir o exercício supondo que a probabilidade de cara é p, com 0<p<1 e p\neq\tfrac{1}{2}.
O que o enunciado pede:
Obter a função de distribuição de probabilidade (fdp) de X quando p=\tfrac{1}{2}.
Repetir obtendo a fdp de X quando a probabilidade de cara é p\in(0,1) (com p\neq\tfrac{1}{2}).
Passo 2
Entender bem o evento \{X=k\} e as hipóteses básicas (independência, mesma probabilidade em cada lançamento).
Definição prática de X: X conta quantos lançamentos foram necessários até que a primeira cara apareça. Assim X toma valores inteiros positivos: X\in\{1,2,3,\dots\}.
Evento chave: para que X=k ocorra, nos primeiros k-1 lançamentos deve sair coroa (falha) e no k-ésimo deve sair cara (sucesso).
Pressuposto usado: lançamentos são independentes e cada lançamento tem a mesma probabilidade de cara p e de coroa 1-p.
Passo 3
Formulação geral do cálculo de \Pr(X=k) (razão passo a passo, intuitiva).
O evento \{X=k\} é a interseção dos eventos: "coroa no lançamento 1" e "coroa no lançamento 2" e … e "coroa no lançamento k-1" e "cara no lançamento k".
Como os lançamentos são independentes, a probabilidade dessa interseção é o produto das probabilidades:\Pr(X=k) = \underbrace{(1-p)\cdot(1-p)\cdots(1-p)}_{k-1\\ \text{vezes}}\cdot p = (1-p)^{k-1}p.
Conclusão geral: para qualquer p\in(0,1) e qualquer k=1,2,\dots,\Pr(X=k)=(1-p)^{k-1}p.
Observação intuitiva: a fórmula diz "falhas seguidas (cada com probabilidade 1-p) até a primeira falha em sequência, depois um sucesso com probabilidade p".
Passo 4
Aplicar a fórmula ao caso da moeda perfeita (moeda justa) com p=\tfrac{1}{2}.
Substituindo p=\tfrac{1}{2} na fórmula geral:\Pr(X=k)=(1-\tfrac{1}{2})^{k-1}\cdot\tfrac{1}{2}=(\tfrac{1}{2})^{k-1}\cdot\tfrac{1}{2}=(\tfrac{1}{2})^{k}.
Exemplos concretos (para fixar a ideia):
\Pr(X=1)=(\tfrac{1}{2})^{1}=\tfrac{1}{2}. (Cara já no primeiro lançamento.)
\Pr(X=2)=(\tfrac{1}{2})^{2}=\tfrac{1}{4}. (Coroa, depois cara.)
No caso p=\tfrac{1}{2} isso vira \sum_{k=1}^{\infty}(\tfrac{1}{2})^{k}=1, confirmando que é uma fdp válida.
Passo 6
Apresentar também a função de distribuição acumulada (CDF) porque é útil na prova e é simples de obter.
A probabilidade de que a primeira cara ocorra em até n lançamentos é\Pr(X\le n)=\sum_{k=1}^{n}(1-p)^{k-1}p =p\cdot\frac{1-(1-p)^{n}}{1-(1-p)}=1-(1-p)^{n}.
Intuição: é 1 menos a probabilidade de falhar nas n primeiras tentativas, que é (1-p)^{n}.
Passo 7
Resumo final e dica prática para a prova (curtinha e encorajadora).
Fórmula para decorar: quando X é o número de tentativas até o primeiro sucesso em ensaios de Bernoulli independentes com probabilidade de sucesso p,\Pr(X=k)=(1-p)^{k-1}p,\qquad k=1,2,\dots
No caso particular da moeda justa (p=\tfrac{1}{2}), essa fórmula vira \Pr(X=k)=(\tfrac{1}{2})^{k}.
Dica: na prova, escreva sempre o evento como “falha nas primeiras k-1 e sucesso no k-ésimo” e multiplique as probabilidades (independência). Isso quase sempre resolve problemas desse tipo. Você tá indo bem — isso é um clássico e vale a pena decorar a fórmula!