Seja dado um sistema com 2 bobinas, 1 e 2 ; colocadas uma ao lado da outra. A bobina 1 contém N_{1} espiras e a bobina 2 contém N_{2} espiras.
  1. Considere agora que não há corrente na bobina 1 e há uma corrente na bobina 2 . A corrente i_{2} gera o campo \vec{B}_{2} que flui através da bobina 1 . Denote por \Phi_{12} o fluxo magnético através de uma espira da bobina 1 devido ao campo \vec{B}_{2}. Mostre que a variação da corrente i_{2} gera uma f.e.m na bobina 1 dada por:
\mathcal{E}_{1}=-M_{12} \frac{d}{d t} i_{2}
onde M_{12} é uma constante de proporcionalidade entre o fluxo magnético total na bobina 1 e a corrente na bobina 2. Essas constantes são chamadas de constantes de indução mútua e elas satisfazem:
M_{12}=M_{21}=M

Passo 1

O enunciado descreve duas bobinas (1 e 2) com N_{1} e N_{2} espiras, respectivamente. Há corrente i_{2} na bobina 2 que gera o campo \vec{B}_{2} atravessando cada espira da bobina 1 com fluxo \Phi_{12}. Queremos mostrar, usando a Lei de Faraday, que a variação de i_{2} induz na bobina 1 a f.e.m.
Conteúdo-chave: definição de fluxo ligado, Lei de Faraday e reciprocidade da indução mútua.

Passo 2

O fluxo total ligado à bobina 1 (todas as N_{1} espiras) é
\Lambda_{1} = N_{1}\,\Phi_{12}.
Como a geometria é fixa, \Phi_{12} é proporcional a i_{2}. Definimos então a constante de indução mútua M_{12} por
\Lambda_{1} = M_{12}\,i_{2}.

Passo 3

Aplicando a Lei de Faraday à bobina 1, a f.e.m. induzida é
\mathcal{E}_{1} \;=\; -\frac{d\Lambda_{1}}{dt} \;=\; -\frac{d}{dt}\bigl(M_{12}\,i_{2}\bigr) \;=\; -\,M_{12}\,\frac{d i_{2}}{dt}.

Passo 4

Para ver que M_{12}=M_{21}, basta perceber que a expressão integral que dá a indução mútua entre duas bobinas (fórmula de Neumann) é simétrica na troca de índices. Alternativamente, pelo argumento energético, a energia armazenada no campo magnético de duas bobinas acopladas pode ser escrita como
W = \tfrac12 L_{1}i_{1}^{2} + \tfrac12 L_{2}i_{2}^{2} + M\,i_{1}i_{2},
onde a mesma constante M aparece no termo cruzado, mostrando que
M_{12}=M_{21}=M.

Resposta

\displaystyle \mathcal{E}_{1}=-M\,\frac{d i_{2}}{dt}
e \displaystyle M_{12}=M_{21}=M.

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