Um sistema ABC trifásico, a 4 fios, com 220 volts eficazes de linha, alimenta uma carga ligada em Y:Z { }_{\mathrm{AN}}=5-\mathrm{j} 12(\Omega), \mathrm{Z}_{\mathrm{BN}}=12+\mathrm{j} 16(\Omega) e \mathrm{Z}_{\mathrm{CN}}=18(\Omega).
Determine:
a) As correntes de linha;
b) A-corrente no neutro;
c) As potências ativa, reativa e aparente da carga trifásica.

Passo 1

Temos um sistema trifásico em estrela com neutro isolado (4-fios), tensão de linha V_{LL}=220,V e cargas não equilibradas em Y: \displaystyle Z_{AN}=5 - j\,12, \Omega, \displaystyle Z_{BN}=12 + j\,16, \Omega, \displaystyle Z_{CN}=18, \Omega.
Para resolver usamos as relações:
  1. Tensão de fase \;V_{ph}=V_{LL}/\sqrt3.
  2. Corrente de fase \;I_k = V_k / Z_{kN} em forma fasorial.
  3. Corrente no neutro \;I_N=-(I_A+I_B+I_C).
  4. Potência de cada fase \;S_k = V_{ph}^2/Z_{kN}, P_k=\Re\{S_k\}, Q_k=\Im\{S_k\}, e total \;S = \sum S_k.

Passo 2

Calculamos a tensão de fase:
V_{ph} \;=\;\frac{220}{\sqrt3}\;\approx\;127{,}02\;\text{V}.

Passo 3

Expressamos cada impedância em módulo e ângulo:
Z_{AN}=5 - j12=13\angle -67{,}38^\circ,\quad Z_{BN}=12 + j16=20\angle 53{,}13^\circ,\quad Z_{CN}=18\angle 0^\circ.
As tensões de fase são \;V_{AN}=127{,}02\angle0^\circ, \;V_{BN}=127{,}02\angle-120^\circ, \;V_{CN}=127{,}02\angle+120^\circ.
Logo as correntes de fase são
I_A=\frac{127{,}02\angle0^\circ}{13\angle -67{,}38^\circ} =9{,}77\angle67{,}38^\circ\;\text{A},
I_B=\frac{127{,}02\angle-120^\circ}{20\angle53{,}13^\circ} =6{,}35\angle-173{,}13^\circ\;\text{A},
I_C=\frac{127{,}02\angle120^\circ}{18\angle0^\circ} =7{,}06\angle120^\circ\;\text{A}.

Passo 4

Somamos fasorialmente I_A+I_B+I_C em forma retangular:
I_A=3{,}78 + j\,9{,}02,\quad I_B=-6{,}31 - j\,0{,}76,\quad I_C=-3{,}53 + j\,6{,}11
I_A+I_B+I_C =-6{,}06 + j\,14{,}37 \;\Rightarrow\; |I_A+I_B+I_C|=15{,}59\angle112{,}93^\circ.
A corrente no neutro é
I_N=-\bigl(I_A+I_B+I_C\bigr) =15{,}59\angle-67{,}07^\circ\;\text{A}.

Passo 5

Usamos
S_k=\frac{V_{ph}^2}{Z_{kN}} =P_k + j\,Q_k \quad\Longrightarrow\quad P_k=\frac{V_{ph}^2\,R_k}{|Z_{kN}|^2}, \; Q_k=\frac{V_{ph}^2\,X_k}{|Z_{kN}|^2}.
Calculando por fase:
A-fase R=5, X=-12, |Z|^2=169:
P_A=\frac{127{,}02^2\cdot5}{169}\approx477{,}4\;\text{W},\quad Q_A=\frac{127{,}02^2\cdot(-12)}{169}\approx-1\,145{,}3\;\text{var}.
B-fase R=12, X=16, |Z|^2=400:
P_B=\frac{127{,}02^2\cdot12}{400}\approx483{,}9\;\text{W},\quad Q_B=\frac{127{,}02^2\cdot16}{400}\approx645{,}2\;\text{var}.
C-fase R=18, X=0, |Z|^2=324:
P_C=\frac{127{,}02^2\cdot18}{324}\approx896{,}1\;\text{W},\quad Q_C=0.
Totalizamos:
P_{tot}=P_A+P_B+P_C\approx477{,}4+483{,}9+896{,}1=1\,857{,}4\;\text{W},
Q_{tot}=Q_A+Q_B+Q_C\approx-1\,145{,}3+645{,}2+0=-500{,}1\;\text{var}.
O complexo total é \;S_{tot}=P_{tot}+j\,Q_{tot}\approx1\,857{,}4 - j\,500{,}1,VA,
com módulo \;|S_{tot}|=\sqrt{1\,857{,}4^2+(-500{,}1)^2}\approx1\,925,VA.

Resposta

a) I_A=9{,}77\angle67{,}38^\circ,A, I_B=6{,}35\angle-173{,}13^\circ,A, I_C=7{,}06\angle120^\circ,A.
b) I_N=15{,}59\angle-67{,}07^\circ,A.
c) P_{tot}\approx1\,857{,}4,W, Q_{tot}\approx-500{,}1,var, |S_{tot}|\approx1\,925,VA.

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