Mostre que n<2^{n} para todo n \in N. Logo, 1 / 2^{n}<1 / n para todo n \in N.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas, para todo n\in\mathbb{N} (assumindo aqui \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}):
  • Mostrar que n<2^{n}.
  • Concluir a partir disso que \dfrac{1}{2^{n}}<\dfrac{1}{n}.
As informações dadas são apenas que n é um número natural (positivo) e as desigualdades a demonstrar.

Passo 2

Método escolhido: prova por indução matemática. Vou explicar rapidinho o porquê e o que é isso, sem mistério: a indução serve para demonstrar afirmações que dependem de um inteiro n. Mostra-se primeiro que a afirmação vale para um ponto inicial (caso base). Depois assume-se que vale para um k qualquer (hipótese indutiva) e prova-se que daí segue para k+1 (passo indutivo). Se essas duas etapas funcionam, a afirmação vale para todo n\ge caso base. É perfeito para desigualdades envolvendo potências e inteiros.

Passo 3

Caso base. Verificar a desigualdade para n=1.
1 < 2^1 = 2,
logo a desigualdade é verdadeira para n=1. (Boa — começamos com sucesso!)

Passo 4

Hipótese indutiva. Suponha que para algum inteiro k\ge1 já sabemos que
k < 2^{k}.
Esse é o que vamos usar para provar o caso k+1.

Passo 5

Passo indutivo. A partir da hipótese k < 2^{k} multiplico ambos os lados por 2 (como 2>0, a desigualdade mantém o sentido):
2k < 2^{k+1}.
Agora preciso comparar k+1 com 2k. Para k\ge1 temos
2k-(k+1)=k-1\ge0,
portanto k+1\le 2k. Juntando com a desigualdade anterior:
k+1 \le 2k < 2^{k+1}.
Daí obtemos a desigualdade estrita desejada:
k+1 < 2^{k+1}.
Isso completa o passo indutivo.

Passo 6

Concluímos, por indução, que para todo n\in\mathbb{N} (com n\ge1) vale
n<2^{n}.
(Interpretação rápida: a potência 2^{n} cresce muito mais rápido que a função linear n; a indução formaliza isso.)

Passo 7

Agora deduzir a desigualdade entre recíprocos. Para n\ge1 temos n>0 e 2^{n}>0. Sempre que 0<a<b vale
\frac{1}{b}<\frac{1}{a},
porque multiplicando a<b por \dfrac{1}{ab}>0 obtemos 1/b<1/a. Aplicando com a=n e b=2^{n}, da desigualdade n<2^{n} segue
\frac{1}{2^{n}}<\frac{1}{n}.

Resposta

\displaystyle n<2^{n} para todo n\in\mathbb{N}.
\displaystyle \frac{1}{2^{n}}<\frac{1}{n} para todo n\in\mathbb{N}.

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