Mostre que
para todo
. Logo,
para todo
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas, para todo
(assumindo aqui
):
- Mostrar que
. - Concluir a partir disso que
.
As informações dadas são apenas que
é um número natural (positivo) e as desigualdades a demonstrar.
Passo 2
Método escolhido: prova por indução matemática. Vou explicar rapidinho o porquê e o que é isso, sem mistério: a indução serve para demonstrar afirmações que dependem de um inteiro
. Mostra-se primeiro que a afirmação vale para um ponto inicial (caso base). Depois assume-se que vale para um
qualquer (hipótese indutiva) e prova-se que daí segue para
(passo indutivo). Se essas duas etapas funcionam, a afirmação vale para todo
caso base. É perfeito para desigualdades envolvendo potências e inteiros.
Passo 3
Caso base. Verificar a desigualdade para
.
logo a desigualdade é verdadeira para
. (Boa — começamos com sucesso!)
Passo 4
Hipótese indutiva. Suponha que para algum inteiro
já sabemos que
Esse é o que vamos usar para provar o caso
.
Passo 5
Passo indutivo. A partir da hipótese
multiplico ambos os lados por
(como
, a desigualdade mantém o sentido):
Agora preciso comparar
com
. Para
temos
portanto
. Juntando com a desigualdade anterior:
Daí obtemos a desigualdade estrita desejada:
Isso completa o passo indutivo.
Passo 6
Concluímos, por indução, que para todo
(com
) vale
(Interpretação rápida: a potência
cresce muito mais rápido que a função linear
; a indução formaliza isso.)
Passo 7
Agora deduzir a desigualdade entre recíprocos. Para
temos
e
. Sempre que
vale
porque multiplicando
por
obtemos
. Aplicando com
e
, da desigualdade
segue