Seja f diferenciável. Calcule integral0^1 x f^prime(x) d x, sabendo que f(1)=4 e que integral0^1 f(t) d t é igual a área da região R entre o gráfico de y=-x^2 e as retas y=1, x=-1 e x=2.

Passo 1

O enunciado pede o valor de
integral0^1 x,f'(x),dx
sabendo que f é diferenciável, f(1)=4 e que
integral0^1 f(t),dt
é igual à área da região R limitada por y=-x^2, y=1, x=-1 e x=2.
Para resolver precisamos de duas ideias: usar integração por partes para inverter x,f'(x) e calcular a área de R via integral definida.

Passo 2

Aplicamos integração por partes em
integral0^1 x,f'(x),dx,
tomando
u = x, dv = f'(x),dx,
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du = dx, v = f(x)
A fórmula dá
integral0^1 x,f'(x),dx = l[x,f(x)r]0^1 - integral0^1 1cdot f(x),dx = 1cdot f(1) - 0cdot f(0) - integral0^1 f(x),dx = f(1) - integral0^1 f(x),dx

Passo 3

Vamos calcular a área da região R. Ela é dada por
Área(R) ;=;integralx=-1^2l[topo - fundor],dx =integral-1^2l(1 - (-x^2)r),dx =integral-1^2(1 + x^2),dx Á
Agora
integral(1 + x^2),dx = x + x^33,
então
integral-1^2(1 + x^2),dx =l[x + tfracx^33r]-1^2 =l(2 + tfrac83r) ;-;l(-1 + tfrac-13r) =143 - l(-tfrac43r) =183 =6
Portanto
integral0^1 f(t),dt = Área(R) = 6 Á

Passo 4

Substituindo em
integral0^1 x,f'(x),dx = f(1) - integral0^1 f(x),dx
temos
integral0^1 x,f'(x),dx = 4 - 6 = -2

Resposta

-2

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