Encontre a área da superfície de revolução gerada pela rotação da curva
, em torno da reta
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a área da superfície que é gerada quando a curva
, para
, gira em torno da reta
. Isso está no conteúdo de cálculo, especificamente no tema de área de superfície de revolução. Para resolver, vamos precisar entender como calcular essa área usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular a área da superfície gerada pela rotação de uma curva
em torno de uma reta horizontal
:
Aqui,
é a função que está girando,
é a reta de rotação, e
é o intervalo de
.
Passo 3
No nosso caso, a função é
, a reta de rotação é
, e o intervalo é de
até
. Então, vamos substituir esses valores na fórmula:
Observe que adicionamos 2 porque a distância entre
e
é
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a derivada
da função
:
Passo 5
Em seguida, vamos calcular
:
Tomamos o quadrado da derivada e somamos 1 para a fórmula da área.
Passo 6
Agora, juntando tudo, a integral para a área fica:
Essa integral pode ser bastante complexa para resolver analiticamente, então normalmente usaríamos métodos numéricos ou uma calculadora para encontrar o valor aproximado.
Resposta
Após calcular a integral, a área da superfície de revolução é aproximadamente
. Para um valor preciso, recomenda-se utilizar uma ferramenta de cálculo numérico.