1 - Seja um eixo com diâmetro d; usado para transmitir uma potência de 120 Hp a uma rotação de 180 rpm . Pede-se:
a) Determinar o diâmetro deste eixo se a tensão admissível do material do mesmo é \tau=900 \mathrm{Kgf} / \mathrm{cm}^{2};
b) Após determinado o diâmetro do eixo, determinar o ângulo de torção por unidade de comprimento ( \varphi / 1 ).

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Potência transmitida: P=120\\ \text{Hp}.
  • Rotação: N=180\\ \text{rpm}.
  • Tensão admissível ao cisalhamento (torção): \tau_{\text{adm}}=900\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}.
    Perguntas:
    (a) Determinar o diâmetro do eixo d.
    (b) Após determinar d, determinar o ângulo de torção por unidade de comprimento \varphi/1 (ou seja, \varphi por unidade de comprimento, em rad/unidade de comprimento).

Passo 2

Converter potência para unidades compatíveis com kgf e metros e obter o torque T.
Explicação e fórmula usada:
  • A relação entre potência P, torque T e rotação N (em rpm) é
P = \frac{2\pi N T}{60},
onde P está em unidades de trabalho por segundo (no sistema com kgf: \mathrm{kgf\cdot m/s}), T em \mathrm{kgf\cdot m} e N em rpm. Dessa equação isolamos T:
T = \frac{60P}{2\pi N} = \frac{30P}{\pi N}.
  • Conversão de potência: quando o enunciado usa “Hp” e as tensões estão em \mathrm{kgf/cm^{2}}, é comum usar a conversão métrica
1\\ \text{Hp} = 75\\ \frac{\mathrm{kgf\cdot m}}{\mathrm{s}}.
Portanto
P = 120\\ \text{Hp} = 120\cdot75 = 9000\\ \frac{\mathrm{kgf\cdot m}}{\mathrm{s}}.
Cálculo do torque T:
T=\frac{30P}{\pi N}=\frac{30\cdot9000}{\pi\cdot180}=\frac{270000}{180\pi}=\frac{1500}{\pi}\\ \mathrm{kgf\cdot m}.
Valor numérico:
T\approx \frac{1500}{3{,}1416}\approx 477{,}46\\ \mathrm{kgf\cdot m}.
Como as tensões e dimensões serão tratadas em cm, converto para \mathrm{kgf\cdot cm}:
T=477{,}46\\ \mathrm{kgf\cdot m}=477{,}46\cdot100=47746\\ \mathrm{kgf\cdot cm}.

Passo 3

Relacionar torque máximo com tensão de cisalhamento para um eixo circular maciço e isentar para d.
Teoria e fórmulas:
  • Para um eixo circular maciço submetido a torque T, a tensão de cisalhamento máxima na superfície é dada por
\tau_{\max}=\frac{T\cdot c}{J},
onde c é o raio (metade do diâmetro) e J é o segundo momento polar (momento de inércia polar) da seção circular.
  • Para um círculo maciço de diâmetro d:
c=\frac{d}{2},\qquad J=\frac{\pi d^{4}}{32}.
Substituindo em \tau_{\max}:
\tau_{\max}=\frac{T\cdot (d/2)}{\pi d^{4}/32}=\frac{16T}{\pi d^{3}}.
Aqui:
  • \tau_{\max} tem unidades \mathrm{kgf/cm^{2}} se T estiver em \mathrm{kgf\cdot cm} e d em \mathrm{cm}.
  • Para projeto, impõe-se \tau_{\max}\le \tau_{\text{adm}}. Igualando para obter o diâmetro mínimo:
\tau_{\text{adm}}=\frac{16T}{\pi d^{3}}\quad\Rightarrow\quad d^{3}=\frac{16T}{\pi \tau_{\text{adm}}}
\Rightarrow\quad d=\left(\frac{16T}{\pi \tau_{\text{adm}}}\right)^{1/3}.

Passo 4

Calcular numericamente d com os valores já obtidos.
Substituindo T=47746\\ \mathrm{kgf\cdot cm} e \tau_{\text{adm}}=900\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}:
d^{3}=\frac{16\cdot47746}{\pi\cdot900}.
Cálculo passo a passo:
16\cdot47746=763936,
\pi\cdot900\approx 3{,}1416\cdot900\approx 2827{,}43,
d^{3}\approx\frac{763936}{2827{,}43}\approx 270{,}23.
Tomando a raiz cúbica:
d\approx 270{,}23^{1/3}\approx 6{,}47\\ \mathrm{cm}.
Em milímetros:
d\approx 64{,}7\\ \mathrm{mm}.
Observação prática: em projeto costuma-se arredondar para um diâmetro comercial superior (por exemplo 65\\ \mathrm{mm} ou 70\\ \mathrm{mm}) dependendo de critérios de segurança, ajuste e folgas.

Passo 5

Determinar o ângulo de torção por unidade de comprimento: fórmula e necessidade de módulo de cisalhamento G.
Teoria:
  • Para um eixo circular submetido a torque T, o ângulo de torção para um comprimento L é
\varphi=\frac{T L}{G J},
onde G é o módulo de cisalhamento (módulo de rigidez) do material e J o momento polar. Portanto o ângulo por unidade de comprimento (tomando L=1 na mesma unidade) é
\frac{\varphi}{1}=\frac{T}{GJ}.
  • Precisamos de G. O enunciado não forneceu G. Para materiais comuns como aço estrutural usa-se:
E\approx 2{,}1\times10^{6}\\ \mathrm{kgf/cm^{2}},\qquad \nu\approx 0{,}30,
e relaciona-se G e E por
G=\frac{E}{2(1+\nu)}.
Tomando esses valores típicos:
G=\frac{2{,}1\times10^{6}}{2(1+0{,}30)}=\frac{2{,}1\times10^{6}}{2{,}6}\approx 807692\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}.
(Se o material for outro, substituir o G apropriado.)

Passo 6

Calcular J com o diâmetro obtido e então \varphi/1.
Cálculo de J:
Usando d=6{,}47\\ \mathrm{cm},
J=\frac{\pi d^{4}}{32}.
Primeiro d^{4}. Como já tínhamos d^{3}\approx 270{,}23, então
d^{4}=d^{3}\cdot d\approx 270{,}23\cdot6{,}47\approx 1748{,}0\\ \mathrm{cm^{4}}.
Agora
J\approx\frac{\pi\cdot1748{,}0}{32}\approx 0{,}0981748\cdot1748{,}0\approx 171{,}5\\ \mathrm{cm^{4}}.
Cálculo do ângulo por unidade de comprimento:
\frac{\varphi}{1}=\frac{T}{GJ}=\frac{47746\\ \mathrm{kgf\cdot cm}}{807692\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}\cdot171{,}5\\ \mathrm{cm^{4}}}.
Calcule o denominador:
GJ\approx 807692\cdot171{,}5\approx 138{,}530{,}000\\ (\text{aprox.})\\ \mathrm{kgf\cdot cm^{2}}.
Portanto
\frac{\varphi}{1}\approx\frac{47746}{138{,}530{,}000}\approx 3{,}45\times10^{-4}\\ \mathrm{rad/cm}.
Conversões úteis:
  • Em rad por metro (multiplicar por 100 porque 1\\ \mathrm{m}=100\\ \mathrm{cm}):
\frac{\varphi}{1}\approx 3{,}45\times10^{-4}\\ \mathrm{rad/cm}=3{,}45\times10^{-2}\\ \mathrm{rad/m}.
  • Em graus por metro (usar 1\\ \mathrm{rad}=57{,}2958^\circ):
3{,}45\times10^{-2}\\ \mathrm{rad/m}\approx 1{,}98^\circ/\mathrm{m}.

Passo 7

Resumo numérico (revisão rápida dos valores calculados e observações finais)
  • Torque calculado: T\approx477{,}46\\ \mathrm{kgf\cdot m}=47746\\ \mathrm{kgf\cdot cm}.
  • Diâmetro mínimo obtido a partir da tensão admissível: d\approx 6{,}47\\ \mathrm{cm}=64{,}7\\ \mathrm{mm}.
  • Ângulo de torção por unidade de comprimento (assumindo E=2{,}1\times10^{6}\\ \mathrm{kgf/cm^{2}} e \nu=0{,}30, logo G\approx8{,}08\times10^{5}\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}):
\frac{\varphi}{1}\approx 3{,}45\times10^{-4}\\ \mathrm{rad/cm}=3{,}45\times10^{-2}\\ \mathrm{rad/m}\approx 1{,}98^\circ/\mathrm{m}.

Resposta

d\approx 6{,}47\\ \mathrm{cm}=64{,}7\\ \mathrm{mm}
\dfrac{\varphi}{1}\approx 3{,}45\times10^{-4}\\ \mathrm{rad/cm}=3{,}45\times10^{-2}\\ \mathrm{rad/m}\approx 1{,}98^\circ/\mathrm{m}

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