Seja um embutido de carne, cortado no formato de cubos pequenos de aresta igual a 2 cm , à temperatura inicial uniforme de 4^{\circ} \mathrm{C}. Para serem servidos como “aperitivo”, esses cubos devem ser processados por cozimento em água fervente a 100^{\circ} \mathrm{C}, de modo que a temperatura
no seu centro atinja 80^{\circ} \mathrm{C}. O coeficiente de troca térmica por convecção entre a água e a superfície externa do sólido estima-se ser em torno de 100 \mathrm{~W} \mathrm{~m}^{-2} \mathrm{~K}^{-1}. Adotar os seguintes valores para as propriedades médias do embutido de carne: densidade =880 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3}; condutividade térmica =0,50 \mathrm{~W} \mathrm{~m}^{-1} \mathrm{~K}^{-1}; calor específico =3,35 \mathrm{~kJ} \mathrm{~kg}^{-1} \mathrm{~K}^{-1}; difusividade térmica =0,17 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} \mathrm{~s}^{-1}. Estimar o tempo de cozimento necessário.

Passo 1

O enunciado pede: estimar o tempo necessário para que o centro de um cubo de embutido atinja 80^\circ\mathrm{C} quando o cubo, inicialmente a 4^\circ\mathrm{C}, é imerso em água a 100^\circ\mathrm{C}. Dados fornecidos:
  • Aresta do cubo: a=2{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}02\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura inicial do sólido: T_i=4^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do banho (fluido): T_\infty=100^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura desejada no centro: T_c=80^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de convecção superfície–água: h=100\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}.
  • Propriedades do embutido (médias):
    • Densidade: \rho=880\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}.
    • Condutividade térmica: k=0{,}50\\ \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}.
    • Calor específico: c_p=3{,}35\\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}\,K^{-1}}=3350\\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}.
    • Difusividade térmica: \alpha=0{,}17\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}\,s^{-1}}=1{,}7\times10^{-7}\\ \mathrm{m^{2}\,s^{-1}}.
O que a gente precisa calcular: o tempo t tal que a temperatura no centro alcance T_c=80^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Decidir o modelo de condução transiente a usar (sem pular etapas). Primeiro checamos se podemos usar o método de “capacitação lumped” (sólido tratado como temperatura uniforme no interior). Para isso calculamos o número de Biot usando um comprimento característico apropriado para o cubo:
  • Volume do cubo: \displaystyle V=a^{3}=(0{,}02)^{3}=8{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Área superficial: \displaystyle A_s=6a^{2}=6(0{,}02)^{2}=2{,}4\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Comprimento característico: \displaystyle L_c=\frac{V}{A_s}=\frac{8{,}0\times10^{-6}}{2{,}4\times10^{-3}}=3{,}333\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
    Número de Biot baseado em L_c:
\mathrm{Bi}=\frac{hL_c}{k}=\frac{100\cdot 3{,}333\times10^{-3}}{0{,}50}=0{,}667.
Regra prática: se \mathrm{Bi}<0{,}1 o modelo lumped é aceitável. Aqui \mathrm{Bi}=0{,}667>0{,}1, portanto a temperatura no interior não é uniforme e NÃO podemos usar o modelo lumped.

Passo 3

Escolher um modelo prático que o permita resolver em tempo de prova. Uma aproximação comum e razoável para cubos pequenos é modelar o problema como condução em uma chapa (slab) de espessura 2L com convecção nas duas faces, tomando a metade da aresta como meia espessura:
L=\frac{a}{2}=0{,}01\\ \mathrm{m}.
Justificativa informal: o cubo tem faces quentes por todos os lados, e a solução 1D em chapa com convecção nas duas faces dá uma estimativa simples e conservadora do tempo no centro (é procedimento standard em problemas de engenharia de alimentos). Vamos aplicar a solução de um termo (primeiro modo) para a chapa com convecção nas faces.
Para a chapa definimos o número de Biot relevante:
\mathrm{Bi}_L=\frac{hL}{k}=\frac{100\cdot 0{,}01}{0{,}50}=2{,}0.
Confirmamos novamente que \mathrm{Bi}_L é maior que 0{,}1, logo o comportamento é governado por condução interna e efeitos de convecção na superfície.

Passo 4

Apresentar a solução em um termo (one-term approximation) para a temperatura no centro de uma chapa com convecção nas faces.
Definições:
  • Temperatura adimensional no centro:
\Theta(t)=\frac{T_{\text{centro}}(t)-T_\infty}{T_i-T_\infty}.
  • Para a aproximação por um termo (primeiro autovalor \lambda_1), vale
\Theta(t)=A_1\exp\!\big(-\lambda_1^{2}\,\mathrm{Fo}\big),
onde o número de Fourier é
\mathrm{Fo}=\frac{\alpha t}{L^{2}}.
As constantes \lambda_1 e A_1 dependem de \mathrm{Bi}_L e são dadas por:
  • \lambda_1 é a menor raiz positiva da equação transcendental para a chapa:
\lambda\tan\lambda=\mathrm{Bi}_L.
  • O coeficiente A_1 é
A_1=\frac{4\sin\lambda_1}{2\lambda_1+\sin(2\lambda_1)}.
Explicação curta: \lambda_1 vem da solução por separação de variáveis (autovalores) e A_1 é o peso do primeiro modo; a série infinita é truncada no primeiro termo porque, para tempos moderados a grandes (que é o nosso caso), o primeiro modo domina.

Passo 5

Calcular a temperatura adimensional que corresponde ao centro em 80^\circ\mathrm{C}.
\Theta_{\text{desejada}}=\frac{T_c-T_\infty}{T_i-T_\infty}=\frac{80-100}{4-100}=\frac{-20}{-96}=0{,}208333\ldots

Passo 6

Resolver numericamente a equação de autovalor para \lambda_1:
\lambda\tan\lambda=\mathrm{Bi}_L=2{,}0.
Fazemos um método bem direto (intervalo e interpolação):
  • Testes rápidos: para \lambda=1{,}00 temos \tan1{,}00\approx1{,}557\Rightarrow 1{,}00\cdot1{,}557=1{,}557<2.
  • Para \lambda=1{,}10 temos \tan1{,}10\approx1{,}964\Rightarrow 1{,}10\cdot1{,}964=2{,}160>2.
    Logo a raiz está entre 1{,}00 e 1{,}10. Refinando por interpolação e avaliando trigonometria com aproximações:
  • Encontrou-se \lambda_1\approx1{,}078 (cálculo numérico detalhado feito por iterações: \lambda\approx1{,}0777 arredondado para três casas relevantes).

Passo 7

Calcular A_1 com \lambda_1\approx1{,}0777. Primeiro calculamos \sin\lambda_1 e \sin(2\lambda_1) (valores aproximados):
\sin\lambda_1\approx0{,}8809,\qquad \sin(2\lambda_1)=2\sin\lambda_1\cos\lambda_1\approx0{,}8340.
Agora o coeficiente:
A_1=\frac{4\sin\lambda_1}{2\lambda_1+\sin(2\lambda_1)} =\frac{4\cdot0{,}8809}{2\cdot1{,}0777+0{,}8340} =\frac{3{,}5236}{2{,}9894}\approx1{,}179.
Observação didática: não se assuste com A_1>1. Isso aparece nos autovalores e no peso do primeiro modo; a expressão completa de série garante |\Theta|\le1 quando todos os termos são somados, mas o primeiro termo isolado pode ter A_1>1 — ainda assim a fórmula de um termo costuma ser bastante precisa para tempos não muito pequenos.

Passo 8

Resolver para o número de Fourier \mathrm{Fo} exigido para obter \Theta=\Theta_{\text{desejada}}. A relação é
\Theta_{\text{desejada}}=A_1\exp\!\big(-\lambda_1^{2}\mathrm{Fo}\big).
Isolando \mathrm{Fo}:
\mathrm{Fo}=-\frac{1}{\lambda_1^{2}}\ln\!\left(\frac{\Theta_{\text{desejada}}}{A_1}\right).
Substituindo números:
\frac{\Theta_{\text{desejada}}}{A_1}=\frac{0{,}208333}{1{,}179}\approx0{,}1767,
\ln\!\left(0{,}1767\right)\approx-1{,}733,
\lambda_1^{2}\approx(1{,}0777)^{2}\approx1{,}1615,
\mathrm{Fo}=\frac{1{,}733}{1{,}1615}\approx1{,}492.

Passo 9

Converter \mathrm{Fo} em tempo t. Lembrando \mathrm{Fo}=\dfrac{\alpha t}{L^{2}}, temos
t=\mathrm{Fo}\,\frac{L^{2}}{\alpha}.
Substituindo:
L^{2}=(0{,}01)^{2}=1{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}, \qquad \alpha=1{,}7\times10^{-7}\\ \mathrm{m^{2}\,s^{-1}},
t=1{,}492\cdot\frac{1{,}0\times10^{-4}}{1{,}7\times10^{-7}} =1{,}492\cdot 588{,}235\approx877{,}6\\ \mathrm{s}.
Em minutos:
t\approx\frac{877{,}6}{60}\approx14{,}63\\ \mathrm{min}\approx 14\\ \mathrm{min}\\\ 38\\ \mathrm{s}.

Passo 10

Interpretação final e avisos práticos:
  • Estimativa obtida: cerca de t\approx8,78\times10^{2}\\ \mathrm{s} (aprox. 14{,}6 minutos) para o centro do cubo atingir 80^\circ\mathrm{C} sob as hipóteses feitas.
  • Observações sobre precisão:
    • Modelagem: usei a aproximação de chapa (slab) com o primeiro modo — é procedimento padrão e dá boa estimativa; modelar o cubo exatamente em 3D requer séries triplas ou uso de cartas de Heisler/Gröber e daria número parecido (ordem de minutos).
    • Propriedades térmicas dependem de temperatura e composição do embutido; valores médios foram usados conforme enunciado.
    • Se quisesse uma estimativa mais simples (pouco precisa), poderia testar o modelo lumped — mas já vimos que \mathrm{Bi}>0{,}1 o que torna esse caminho inadequado.
  • Motivação didática: os passos chave são (1) checar Bi para escolher o modelo, (2) usar a solução transiente apropriada (autovalores), (3) calcular o número de Fourier necessário e converter em tempo. Essas etapas são úteis para qualquer problema de aquecimento/resfriamento transient.

Resposta

t\approx8,78\times10^{2}\\ \mathrm{s}\approx14{,}6\\ \mathrm{min}

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