Seja um embutido de carne, cortado no formato de cubos pequenos de aresta igual a 2 cm , à temperatura inicial uniforme de
. Para serem servidos como “aperitivo”, esses cubos devem ser processados por cozimento em água fervente a
, de modo que a temperatura
no seu centro atinja
. O coeficiente de troca térmica por convecção entre a água e a superfície externa do sólido estima-se ser em torno de
. Adotar os seguintes valores para as propriedades médias do embutido de carne: densidade
; condutividade térmica
; calor específico
; difusividade térmica
. Estimar o tempo de cozimento necessário.
no seu centro atinja
Passo 1
O enunciado pede: estimar o tempo necessário para que o centro de um cubo de embutido atinja
quando o cubo, inicialmente a
, é imerso em água a
. Dados fornecidos:
- Aresta do cubo:
. - Temperatura inicial do sólido:
. - Temperatura do banho (fluido):
. - Temperatura desejada no centro:
. - Coeficiente de convecção superfície–água:
. - Propriedades do embutido (médias):
- Densidade:
. - Condutividade térmica:
. - Calor específico:
. - Difusividade térmica:
.
- Densidade:
O que a gente precisa calcular: o tempo
tal que a temperatura no centro alcance
.
Passo 2
Decidir o modelo de condução transiente a usar (sem pular etapas). Primeiro checamos se podemos usar o método de “capacitação lumped” (sólido tratado como temperatura uniforme no interior). Para isso calculamos o número de Biot usando um comprimento característico apropriado para o cubo:
- Volume do cubo:
. - Área superficial:
. - Comprimento característico:
Número de Biot baseado em:
Regra prática: se
o modelo lumped é aceitável. Aqui
, portanto a temperatura no interior não é uniforme e NÃO podemos usar o modelo lumped.
Passo 3
Escolher um modelo prático que o permita resolver em tempo de prova. Uma aproximação comum e razoável para cubos pequenos é modelar o problema como condução em uma chapa (slab) de espessura
com convecção nas duas faces, tomando a metade da aresta como meia espessura:
Justificativa informal: o cubo tem faces quentes por todos os lados, e a solução 1D em chapa com convecção nas duas faces dá uma estimativa simples e conservadora do tempo no centro (é procedimento standard em problemas de engenharia de alimentos). Vamos aplicar a solução de um termo (primeiro modo) para a chapa com convecção nas faces.
Para a chapa definimos o número de Biot relevante:
Confirmamos novamente que
é maior que
, logo o comportamento é governado por condução interna e efeitos de convecção na superfície.
Passo 4
Apresentar a solução em um termo (one-term approximation) para a temperatura no centro de uma chapa com convecção nas faces.
Definições:
- Temperatura adimensional no centro:
- Para a aproximação por um termo (primeiro autovalor
), vale
onde o número de Fourier é
As constantes
e
dependem de
e são dadas por:
-
é a menor raiz positiva da equação transcendental para a chapa:
- O coeficiente
é
Explicação curta:
vem da solução por separação de variáveis (autovalores) e
é o peso do primeiro modo; a série infinita é truncada no primeiro termo porque, para tempos moderados a grandes (que é o nosso caso), o primeiro modo domina.
Passo 5
Calcular a temperatura adimensional que corresponde ao centro em
.
Passo 6
Resolver numericamente a equação de autovalor para
:
Fazemos um método bem direto (intervalo e interpolação):
- Testes rápidos: para
temos . - Para
temos .
Logo a raiz está entree . Refinando por interpolação e avaliando trigonometria com aproximações: - Encontrou-se
(cálculo numérico detalhado feito por iterações: arredondado para três casas relevantes).
Passo 7
Calcular
com
. Primeiro calculamos
e
(valores aproximados):
Agora o coeficiente:
Observação didática: não se assuste com
. Isso aparece nos autovalores e no peso do primeiro modo; a expressão completa de série garante
quando todos os termos são somados, mas o primeiro termo isolado pode ter
— ainda assim a fórmula de um termo costuma ser bastante precisa para tempos não muito pequenos.
Passo 8
Resolver para o número de Fourier
exigido para obter
. A relação é
Isolando
:
Substituindo números:
Passo 9
Converter
em tempo
. Lembrando
, temos
Substituindo:
Em minutos:
Passo 10
Interpretação final e avisos práticos:
- Estimativa obtida: cerca de
(aprox. minutos) para o centro do cubo atingir sob as hipóteses feitas. - Observações sobre precisão:
- Modelagem: usei a aproximação de chapa (slab) com o primeiro modo — é procedimento padrão e dá boa estimativa; modelar o cubo exatamente em 3D requer séries triplas ou uso de cartas de Heisler/Gröber e daria número parecido (ordem de minutos).
- Propriedades térmicas dependem de temperatura e composição do embutido; valores médios foram usados conforme enunciado.
- Se quisesse uma estimativa mais simples (pouco precisa), poderia testar o modelo lumped — mas já vimos que
o que torna esse caminho inadequado.
- Motivação didática: os passos chave são (1) checar Bi para escolher o modelo, (2) usar a solução transiente apropriada (autovalores), (3) calcular o número de Fourier necessário e converter em tempo. Essas etapas são úteis para qualquer problema de aquecimento/resfriamento transient.