Aqui está a questão unificada, contendo todos os dados fornecidos originalmente:
Uma batata-doce, considerada como uma esfera com diâmetro igual a
, está inicialmente a uma temperatura de
e é exposta a um ambiente com temperatura de
. Suas propriedades termofísicas são: densidade
, calor específico
, condutividade térmica
e difusividade térmica
. Considerando um coeficiente de convecção de
, estime o tempo necessário para que a temperatura na superfície externa da batata atinja o valor de
. Além disso, com base neste resultado e comparando com a situação anterior onde o coeficiente de convecção era de
, explique o que acontece quando aumentamos o coeficiente convectivo e justifique sua resposta 1 .
Uma batata-doce, considerada como uma esfera com diâmetro igual a
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados geométricos e condições iniciais:
- Diâmetro da batata:
. - Logo, raio:
. - Temperatura inicial da batata:
. - Temperatura do ambiente (fluido):
. - Queremos o tempo até que a temperatura na superfície externa atinja
.
- Diâmetro da batata:
-
Propriedades termofísicas (fornecidas):
- Densidade:
. - Calor específico:
. - Condutividade térmica:
. - Difusividade térmica:
.
- Densidade:
-
Coeficiente de convecção no caso a avaliar:
-
.
-
-
Pedido:
- Estimar o tempo necessário para que a temperatura na superfície alcance
(com ). - Comparar e explicar o que acontece quando aumentamos o coeficiente convectivo, em particular comparando com a situação anterior em que
.
- Estimar o tempo necessário para que a temperatura na superfície alcance
Passo 2
Breve explicação do método que vou usar (motivos, sem inventar nada):
Para problemas transientes de transferência de calor em corpos maciços há duas abordagens comuns:
Para problemas transientes de transferência de calor em corpos maciços há duas abordagens comuns:
- Modelo de corpo perfeitamente homogêneo (lumped-capacitance), que dá uma solução exponencial simples, válido quando a resistência térmica interna por condução é muito menor que a resistência convectiva na superfície. A validade é verificada com o número de Biot
. - Solução de condução transiente com condição de convecção na superfície (série de autovalores / soluções tipo Heisler), necessária quando
não é pequeno.
Vou calcular
. Se
o modelo lumped dá boa aproximação; se não, uso a solução por autovalores (primeiro termo da série costuma ser suficiente para estimativas). Esse é o algoritmo que decidi seguir.
Passo 3
Calcular comprimento característico e número de Biot.
-
Comprimento característico para esfera (volume/área):
. Logo -
Número de Biot:Substituindo
, e :
Interpretação imediata:
. Portanto o modelo lumped-capacitance NÃO é válido; é necessário tratar condução interna transiente (série eigenfuncional para esfera).
Passo 4
Apresentar a forma canônica da solução (o que é usado e o que cada símbolo significa).
-
Define-se temperatura adimensional:onde
é a coordenada radial adimensional ( ) e a variável temporal adimensional (número de Fourier) -
Para uma esfera homogênea com convecção na superfície, a solução por separação de variáveis resulta numa série em autovalores
que satisfazem a condição de contorno: Os termos da série (modo) são da forma Aqui:-
são as raízes positivas da equação . - Os coeficientes
são dados por (fórmula padrão da solução para esfera)
-
-
No caso da superfície externa temos
, então o termo de cada modo contribui como
Observação prática: frequentemente o primeiro termo (
) domina e fornece boa aproximação numérica de
para estimativas de tempo.
Passo 5
Fixar o valor adimensional alvo e escrever a equação a resolver.
-
Queremos
na superfície. Então a temperatura adimensional alvo é -
Aproximando por apenas o primeiro termo (
): Logo devemos resolver paraDepoisserá obtido por
Portanto os passos seguintes: (i) encontrar
resolvendo
; (ii) calcular
; (iii) obter
e então
.
Passo 6
Resolver numericamente a equação dos autovalores
para
(achar
).
- A equação é
. Vou procurar a primeira raiz positiva no intervalo . - Testes rápidos:
- Para
: (um pouco menor que ). - Para
: (já maior que ).
- Para
- Pelo método da bisseção/interpolação encontra-se a raiz próxima de
(detalhei iterações rápidas nos cálculos; esse valor satisfaz a equação dentro de precisão adequada para estimativas).
Assim usarei
(aprox.).
Passo 7
Calcular o coeficiente
e o fator multiplicador na superfície.
-
Primeiro calculo seno e cosseno aproximados em
: -
. -
.
-
-
Calcular
pela fórmula: Substituindo os números:
Então
- O fator que multiplica a exponencial para a superfície é
Portanto, com a aproximação de primeiro termo:
Passo 8
Encontrar
a partir de
.
- Resolver
- Isolando a exponencial:
- Tomando logaritmo natural e lembrando
:
Passo 9
Converter
para tempo dimensional
.
-
Lembrando
, temos Substituindo, e : -
Convertendo para horas e minutos:
Esse é o resultado estimado para
, usando a aproximação do primeiro termo da série (normalmente suficiente para estimativas).
Passo 10
Comparação qualitativa e quantitativa com
e interpretação física do efeito de aumentar
.
-
Primeiro calculemos
para : Esse valor é pequeno em comparação com, e está na faixa em que o modelo lumped poderia começar a ser considerado (o critério prático não é estritamente satisfeito, mas indica pouca queda interna de temperatura comparada à resistência convectiva). -
Para ilustrar numericamente a grande diferença, aplicando o mesmo procedimento (resolver
com , usar primeiro termo e calcular para ) obtém-se um tempo da ordem de (cálculo mostrado resumidamente: paraobtém-se , e daí e grandes — ver Passos 6–9 replicados para esse .) -
Interpretação física e conclusão:
- Aumentar
aumenta a capacidade do fluido de remover calor na superfície (maior fluxo convectivo ), portanto a superfície esfria mais rápido; isto reduz fortemente o tempo necessário para atingir . - No exemplo numérico, passar de
para reduz o tempo estimado de algo como para : um ganho grande (ordem de magnitude). - Observação importante sobre resistência interna: quando
é muito pequeno, o processo é controlado pela convecção na superfície; quando aumenta muito, a resistência de convecção diminui e a condução dentro do sólido (difusividade térmica, representada por ) passa a limitar o resfriamento — isto é, há um ponto de retorno decrescente: aumentar além dum certo valor resulta em ganhos menores porque a condução interna já é o gargalo. No nosso caso produz , ou seja, as resistências de condução interna e convecção têm importâncias comparáveis; portanto aumentar mais ainda ajuda, mas menos dramaticamente do que aumentar a partir de valores muito pequenos. - Em termos práticos: para acelerar o resfriamento de um bloco (ou batata), aumentar o coeficiente convectivo (ex.: soprar ar mais rápido, usar ar ou líquido mais eficiente, turbulência) é muito eficaz se
inicial for baixo; se já for alto, melhorar mais terá efeitos limitados a menos que se aumente também a condução interna (por exemplo diminuindo o tamanho do pedaço, ou aumentando por algum meio).
- Aumentar
Resposta
Ao aumentar o coeficiente convectivo de