Aqui está a questão unificada, contendo todos os dados fornecidos originalmente:
Uma batata-doce, considerada como uma esfera com diâmetro igual a 8,0 \mathrm{~cm}, está inicialmente a uma temperatura de 100^{\circ} \mathrm{C} e é exposta a um ambiente com temperatura de 25^{\circ} \mathrm{C}. Suas propriedades termofísicas são: densidade \rho=1101 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3}, calor específico C_{P}=3,44 \mathrm{~kJ} \mathrm{~kg}^{-1} \mathrm{~K}^{-1}, condutividade térmica k=0,580 \mathrm{~W} \mathrm{~m}^{-1} \mathrm{~K}^{-1} e difusividade térmica \alpha=0,153 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} \mathrm{~s}^{-1}. Considerando um coeficiente de convecção de h=70 \mathrm{~W} \mathrm{~m}^{-2} \mathrm{~K}^{-1}, estime o tempo necessário para que a temperatura na superfície externa da batata atinja o valor de 40^{\circ} \mathrm{C}. Além disso, com base neste resultado e comparando com a situação anterior onde o coeficiente de convecção era de h=6,55 \mathrm{~W} \mathrm{~m}^{-2} \mathrm{~K}^{-1}, explique o que acontece quando aumentamos o coeficiente convectivo e justifique sua resposta 1 .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados geométricos e condições iniciais:
    • Diâmetro da batata: D=8{,}0\\ \mathrm{cm}.
    • Logo, raio: R=\tfrac{D}{2}=4{,}0\\ \mathrm{cm}=0,04\\ \mathrm{m}.
    • Temperatura inicial da batata: T_{i}=100^{\circ}\mathrm{C}.
    • Temperatura do ambiente (fluido): T_{\infty}=25^{\circ}\mathrm{C}.
    • Queremos o tempo até que a temperatura na superfície externa atinja T_{s}=40^{\circ}\mathrm{C}.
  • Propriedades termofísicas (fornecidas):
    • Densidade: \rho=1101\\ \mathrm{kg\\ m^{-3}}.
    • Calor específico: C_{P}=3{,}44\\ \mathrm{kJ\\ kg^{-1}\\ K^{-1}}=3440\\ \mathrm{J\\ kg^{-1}\\ K^{-1}}.
    • Condutividade térmica: k=0{,}580\\ \mathrm{W\\ m^{-1}\\ K^{-1}}.
    • Difusividade térmica: \alpha=0{,}153\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}\\ s^{-1}}.
  • Coeficiente de convecção no caso a avaliar:
    • h=70\\ \mathrm{W\\ m^{-2}\\ K^{-1}}.
  • Pedido:
    1. Estimar o tempo necessário para que a temperatura na superfície alcance 40^{\circ}\mathrm{C} (com h=70).
    2. Comparar e explicar o que acontece quando aumentamos o coeficiente convectivo, em particular comparando com a situação anterior em que h=6{,}55\\ \mathrm{W\\ m^{-2}\\ K^{-1}}.

Passo 2

Breve explicação do método que vou usar (motivos, sem inventar nada):
Para problemas transientes de transferência de calor em corpos maciços há duas abordagens comuns:
  • Modelo de corpo perfeitamente homogêneo (lumped-capacitance), que dá uma solução exponencial simples, válido quando a resistência térmica interna por condução é muito menor que a resistência convectiva na superfície. A validade é verificada com o número de Biot \mathrm{Bi}.
  • Solução de condução transiente com condição de convecção na superfície (série de autovalores / soluções tipo Heisler), necessária quando \mathrm{Bi} não é pequeno.
Vou calcular \mathrm{Bi}. Se \mathrm{Bi}\lesssim0{,}1 o modelo lumped dá boa aproximação; se não, uso a solução por autovalores (primeiro termo da série costuma ser suficiente para estimativas). Esse é o algoritmo que decidi seguir.

Passo 3

Calcular comprimento característico e número de Biot.
  • Comprimento característico para esfera (volume/área): L_{c}=\dfrac{V}{A}=\dfrac{R}{3}. Logo
    L_{c}=\dfrac{0,04\\ \mathrm{m}}{3}=0,013333\ldots\\ \mathrm{m}.
  • Número de Biot:
    \mathrm{Bi}=\dfrac{h L_{c}}{k}.
    Substituindo h=70, L_{c}=0,013333\ldots e k=0{,}580:
    \mathrm{Bi}=\dfrac{70\cdot 0,013333\ldots}{0{,}580} =\dfrac{0{,}93333\ldots}{0{,}580}\approx1{,}61.
Interpretação imediata: \mathrm{Bi}\approx1{,}61\gg0{,}1. Portanto o modelo lumped-capacitance NÃO é válido; é necessário tratar condução interna transiente (série eigenfuncional para esfera).

Passo 4

Apresentar a forma canônica da solução (o que é usado e o que cada símbolo significa).
  • Define-se temperatura adimensional:
    \theta(\xi,\tau)=\dfrac{T(r,t)-T_{\infty}}{T_{i}-T_{\infty}},
    onde \xi=\dfrac{r}{R} é a coordenada radial adimensional ( 0\le\xi\le1) e a variável temporal adimensional (número de Fourier)
    \tau=\dfrac{\alpha t}{R^{2}}.
  • Para uma esfera homogênea com convecção na superfície, a solução por separação de variáveis resulta numa série em autovalores \mu_{n} que satisfazem a condição de contorno:
    \mu_{n}\tan\mu_{n}=\mathrm{Bi}.
    Os termos da série (modo n) são da forma
    \theta(\xi,\tau)=\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\,\dfrac{\sin(\mu_{n}\xi)}{\mu_{n}\xi}\,\exp\!\big(-\mu_{n}^{2}\tau\big).
    Aqui:
    • \mu_{n} são as raízes positivas da equação \mu\tan\mu=\mathrm{Bi}.
    • Os coeficientes A_{n} são dados por (fórmula padrão da solução para esfera)
    A_{n}=\dfrac{2\big(\sin\mu_{n}-\mu_{n}\cos\mu_{n}\big)}{\mu_{n}-\sin\mu_{n}\cos\mu_{n}}.
  • No caso da superfície externa temos \xi=1, então o termo de cada modo n contribui como
    \theta(1,\tau)=\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\,\dfrac{\sin\mu_{n}}{\mu_{n}}\,\exp\!\big(-\mu_{n}^{2}\tau\big).
Observação prática: frequentemente o primeiro termo ( n=1) domina e fornece boa aproximação numérica de \theta para estimativas de tempo.

Passo 5

Fixar o valor adimensional alvo e escrever a equação a resolver.
  • Queremos T_{s}(t)=40^{\circ}\mathrm{C} na superfície. Então a temperatura adimensional alvo é
    \theta_{\text{alvo}}=\dfrac{40-25}{100-25}=\dfrac{15}{75}=0{,}2.
  • Aproximando por apenas o primeiro termo ( n=1):
    \theta(1,\tau)\approx A_{1}\,\dfrac{\sin\mu_{1}}{\mu_{1}}\,\exp\!\big(-\mu_{1}^{2}\tau\big).
    Logo devemos resolver para \tau
    A_{1}\,\dfrac{\sin\mu_{1}}{\mu_{1}}\,\exp\!\big(-\mu_{1}^{2}\tau\big)=0{,}2.
    Depois t será obtido por
    t=\dfrac{\tau R^{2}}{\alpha}.
Portanto os passos seguintes: (i) encontrar \mu_{1} resolvendo \mu\tan\mu=\mathrm{Bi}; (ii) calcular A_{1}; (iii) obter \tau e então t.

Passo 6

Resolver numericamente a equação dos autovalores \mu\tan\mu=\mathrm{Bi} para \mathrm{Bi}=1{,}61 (achar \mu_{1}).
  • A equação é \mu\tan\mu=1{,}61. Vou procurar a primeira raiz positiva \mu_{1} no intervalo 0<\mu<\tfrac{\pi}{2}\approx1{,}5708.
  • Testes rápidos:
    • Para \mu=1{,}00: \mu\tan\mu=1{,}00\cdot\tan(1{,}00)\approx1{,}00\cdot1{,}5574=1{,}5574 (um pouco menor que 1{,}61).
    • Para \mu=1{,}05: \mu\tan\mu\approx1{,}05\cdot1{,}743=1{,}830 (já maior que 1{,}61).
  • Pelo método da bisseção/interpolação encontra-se a raiz próxima de \mu_{1}\approx1{,}0105 (detalhei iterações rápidas nos cálculos; esse valor satisfaz a equação dentro de precisão adequada para estimativas).
Assim usarei \mu_{1}=1{,}0105 (aprox.).

Passo 7

Calcular o coeficiente A_{1} e o fator multiplicador na superfície.
  • Primeiro calculo seno e cosseno aproximados em \mu_{1}:
    • \sin\mu_{1}\approx0{,}84714.
    • \cos\mu_{1}\approx0{,}53147.
  • Calcular A_{1} pela fórmula:
    A_{1}=\dfrac{2\big(\sin\mu_{1}-\mu_{1}\cos\mu_{1}\big)}{\mu_{1}-\sin\mu_{1}\cos\mu_{1}}.
    Substituindo os números:
    \sin\mu_{1}-\mu_{1}\cos\mu_{1}\approx0{,}84714-1{,}0105\cdot0{,}53147\approx0{,}30954,
\mu_{1}-\sin\mu_{1}\cos\mu_{1}\approx1{,}0105-0{,}84714\cdot0{,}53147\approx0{,}5605.
Então
A_{1}\approx\dfrac{2\cdot0{,}30954}{0{,}5605}\approx1{,}1046.
  • O fator que multiplica a exponencial para a superfície é A_{1}\,\dfrac{\sin\mu_{1}}{\mu_{1}}\approx1{,}1046\cdot\dfrac{0{,}84714}{1{,}0105}\approx1{,}1046\cdot0{,}8384\approx0{,}9258.
Portanto, com a aproximação de primeiro termo:
\theta(1,\tau)\approx0{,}9258\exp\!\big(-\mu_{1}^{2}\tau\big).

Passo 8

Encontrar \tau a partir de \theta_{\text{alvo}}=0{,}2.
  • Resolver 0{,}9258\exp\!\big(-\mu_{1}^{2}\tau\big)=0{,}2.
  • Isolando a exponencial: \exp\!\big(-\mu_{1}^{2}\tau\big)=\dfrac{0{,}2}{0{,}9258}\approx0{,}2160.
  • Tomando logaritmo natural e lembrando \mu_{1}^{2}\approx(1{,}0105)^{2}\approx1{,}0211: -\mu_{1}^{2}\tau=\ln(0{,}2160)\approx-1{,}532,
\tau=\dfrac{1{,}532}{\mu_{1}^{2}}\approx\dfrac{1{,}532}{1{,}0211}\approx1{,}500.

Passo 9

Converter \tau para tempo dimensional t.
  • Lembrando \tau=\dfrac{\alpha t}{R^{2}}, temos
    t=\dfrac{\tau R^{2}}{\alpha}.
    Substituindo \tau\approx1{,}500, R^{2}=(0{,}04)^{2}=0{,}0016\\ \mathrm{m^{2}} e \alpha=0{,}153\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}\\ s^{-1}}=1{,}53\times10^{-7}\\ \mathrm{m^{2}\\ s^{-1}}:
    t\approx\dfrac{1{,}500\cdot0{,}0016}{1{,}53\times10^{-7}} =\dfrac{0{,}0024}{1{,}53\times10^{-7}}\approx1{,}5686\times10^{4}\\ \mathrm{s}.
  • Convertendo para horas e minutos:
    t\approx1{,}57\times10^{4}\\ \mathrm{s}\approx4{,}36\\ \mathrm{h}\approx4\\ \mathrm{h}\\\ 21\\ \mathrm{min}.
Esse é o resultado estimado para h=70, usando a aproximação do primeiro termo da série (normalmente suficiente para estimativas).

Passo 10

Comparação qualitativa e quantitativa com h=6{,}55\\ \mathrm{W\\ m^{-2}\\ K^{-1}} e interpretação física do efeito de aumentar h.
  • Primeiro calculemos \mathrm{Bi} para h=6{,}55:
    \mathrm{Bi}_{\text{pequeno}}=\dfrac{6{,}55\cdot0{,}013333\ldots}{0{,}580}\approx0{,}1506.
    Esse valor é pequeno em comparação com 1{,}61, e está na faixa em que o modelo lumped poderia começar a ser considerado (o critério prático \mathrm{Bi}\lesssim0{,}1 não é estritamente satisfeito, mas \mathrm{Bi}=0{,}15 indica pouca queda interna de temperatura comparada à resistência convectiva).
  • Para ilustrar numericamente a grande diferença, aplicando o mesmo procedimento (resolver \mu\tan\mu=\mathrm{Bi} com \mathrm{Bi}=0{,}1506, usar primeiro termo e calcular t para \theta=0{,}2) obtém-se um tempo da ordem de
    t\approx1{,}14\times10^{5}\\ \mathrm{s}\approx31{,}7\\ \mathrm{h}.
    (cálculo mostrado resumidamente: para \mathrm{Bi}=0{,}1506 obtém-se \mu_{1}\approx0{,}388, e daí \tau e t grandes — ver Passos 6–9 replicados para esse \mathrm{Bi}.)
  • Interpretação física e conclusão:
    • Aumentar h aumenta a capacidade do fluido de remover calor na superfície (maior fluxo convectivo \sim h\,(T_{s}-T_{\infty})), portanto a superfície esfria mais rápido; isto reduz fortemente o tempo necessário para atingir 40^{\circ}\mathrm{C}.
    • No exemplo numérico, passar de h\approx6{,}55 para h=70 reduz o tempo estimado de algo como \sim32\\ \mathrm{h} para \sim4{,}4\\ \mathrm{h}: um ganho grande (ordem de magnitude).
    • Observação importante sobre resistência interna: quando h é muito pequeno, o processo é controlado pela convecção na superfície; quando h aumenta muito, a resistência de convecção diminui e a condução dentro do sólido (difusividade térmica, representada por \alpha) passa a limitar o resfriamento — isto é, há um ponto de retorno decrescente: aumentar h além dum certo valor resulta em ganhos menores porque a condução interna já é o gargalo. No nosso caso h=70 produz \mathrm{Bi}\approx1{,}61, ou seja, as resistências de condução interna e convecção têm importâncias comparáveis; portanto aumentar mais h ainda ajuda, mas menos dramaticamente do que aumentar h a partir de valores muito pequenos.
    • Em termos práticos: para acelerar o resfriamento de um bloco (ou batata), aumentar o coeficiente convectivo (ex.: soprar ar mais rápido, usar ar ou líquido mais eficiente, turbulência) é muito eficaz se h inicial for baixo; se h já for alto, melhorar mais terá efeitos limitados a menos que se aumente também a condução interna (por exemplo diminuindo o tamanho do pedaço, ou aumentando \alpha por algum meio).

Resposta

t\approx1{,}57\times10^{4}\\ \mathrm{s}\approx4{,}36\\ \mathrm{h} (tempo estimado para a superfície atingir 40^{\circ}\mathrm{C} com h=70\\ \mathrm{W\,m^{-2}K^{-1}}).
Ao aumentar o coeficiente convectivo de h=6{,}55 para h=70 o tempo de resfriamento diminui fortemente (ex.: de ordem \sim3{,}2\times10^{1}\\ \mathrm{h} para \sim4{,}4\\ \mathrm{h} na estimativa), porque maior h aumenta o fluxo convectivo na superfície; entretanto, para h suficientemente grande a condução interna passa a ser o limitante (ganhos adicionais em h têm efeito decrescente).

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