1. Seja um ensaio de corpo de prova a tração na direção z (isto é, sigmaX=sigmaY=0 e sigmaZ não nulo). Use a lei de Hooke generalizada expressa em função das constantes de Lamé para relacionar varepsilonX e varepsilonY a varepsilonZ, e varepsilonZ a sigmaZ. Em seguida, compare os resultados obtidos com as expressões:
varepsilonX=varepsilonY=-v varepsilonZ ; sigmaZ=E varepsilonZ
e então obtenha as relações entre as constantes de Lamé e o módulo de elasticidade longitudinal, E, e o coeficiente de Poisson, v.

Passo 1

O enunciado pede para usar a lei de Hooke generalizada em termo das constantes de Lamé, lambda e mu, num ensaio de tração uniaxial em z (isto é, sigmaX=sigmaY=0 e sigmaZneq0). Vamos primeiro relacionar varepsilonX e varepsilonY a varepsilonZ e depois obter sigmaZ em função de varepsilonZ. Depois comparamos com as fórmulas uniaxiais
varepsilonX=varepsilonY=-nu,varepsilonZ e sigmaZ=E,varepsilonZ
para extrair as relações entre lambda,mu e E,nu.

Passo 2

A lei de Hooke generalizada para um meio linear e isotrópico em tensões principais dá, para cada direção iinX,Y,Z,
sigmai ;=; 2,mu,varepsiloni ;+;lambda,(varepsilonX+varepsilonY+varepsilonZ),
Em particular, para i=X e i=Y temos
0=sigmaX=2mu,varepsilonX+lambdal(varepsilonX+varepsilonY+varepsilonZr),
0=sigmaY=2mu,varepsilonY+lambdal(varepsilonX+varepsilonY+varepsilonZr)
Por simetria de ensaio uniaxial, varepsilonX=varepsilonY.

Passo 3

Chamando varepsilon1=varepsilonX=varepsilonY e varepsilon3=varepsilonZ, cada uma das equações acima vira
0=2mu,varepsilon1+lambda,(2,varepsilon1+varepsilon3)
Isolando varepsilon1 em função de varepsilon3,
2mu,varepsilon1+lambda,(2varepsilon1+varepsilon3)=0 ;Longrightarrow; (2mu+2lambda),varepsilon1=-lambda,varepsilon3 ;Longrightarrow; varepsilon1=-lambda2(mu+lambda),varepsilon3

Passo 4

Agora usamos a lei de Hooke para i=Z:
sigmaZ=2mu,varepsilon3+lambda,(2,varepsilon1+varepsilon3)
Mas já vimos que
2,varepsilon1+varepsilon3 =2l(-lambda2(mu+lambda),varepsilon3r)+varepsilon3 =mumu+lambda,varepsilon3
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sigmaZ =2mu,varepsilon3+lambda,mumu+lambda,varepsilon3 =2mu(mu+lambda)+lambdamumu+lambda,varepsilon3 =mu,(2mu+3lambda)mu+lambda,varepsilon3

Passo 5

Comparando com as fórmulas uniaxiais
varepsilon1=-nu,varepsilon3, sigmaZ=E,varepsilon3,
vemos que
-lambda2(mu+lambda)=-nu Longrightarrow nu=lambda2(mu+lambda),
mu,(2mu+3lambda)mu+lambda=E
Destas duas equações podemos isolar lambda e mu em função de E e nu (as fórmulas mais usadas):
mu=E2(1+nu), lambda=nu,E(1+nu)(1-2nu)

Resposta

nu=lambda2(lambda+mu), E=mu,(2mu+3lambda)mu+lambda, mu=E2(1+nu), lambda=nu,E(1+nu)(1-2nu)

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