1. Uma dada peça é feita de uma liga de alumínio de comportamento linear elástico isótropo com E=72 GPa e v=0,33. Considere um ponto na superfície livre que é paralela ao plano xy. Se sigmax x=250 MPa, sigmay y=-50 MPa, e sigmax y=sigmay x=-150 MPa são as componentes não nulas, determine as direções para colar extensômetros elétricos de resistência naquele ponto para medir as deformações principais. Quais os valores destas deformações principais?

Passo 1

O enunciado dá um estado de tensões plano em um ponto da superfície livre (plano xy) de uma liga isotrópica linear elástica com E=72,GPa e nu=0,33. As componentes não nulas são
sigmaxx=250,MPa,
sigmayy=-50,MPa e
sigmaxy=-150,MPa.
Queremos achar (1) as direções em que ocorrem as deformações principais, pois aí colocamos os extensômetros, e (2) os valores dessas deformações principais.

Passo 2

As direções principais thetap satisfazem
tan2thetap ;=;2,sigmaxysigmaxx-sigmayy
Substituindo,
tan2thetap ;=;2,( -150 )250-(-50);=;-300300;=;-1

Passo 3

Da equação tan2thetap=-1 vem
2thetap = -45^circ + kcdot180^circ,
logo, tomando a menor solução em [0,180^circ),
thetap1 = -22,5^circ(ou 337,5^circ), thetap2 = thetap1+90^circ = 67,5^circ
Essas são as direções dos eixos de deformação principal em relação ao eixo x.

Passo 4

Primeiro calculamos as tensões principais sigma1 e sigma2 no plano xy:
sigmamédia = sigmaxx+sigmayy2 = 250 + (-50)2 =100,MPa, é
R = raizl(sigmaxx-sigmayy2r)^2 + sigmaxy^2 = raiz150^2 + (-150)^2 =212,13,MPa,
sigma1 = sigmamédia + R = 100 + 212,13 = 312,13,MPa, sigma2 = 100 - 212,13 = -112,13,MPa é

Passo 5

Em estado de tensão plana, as deformações principais varepsilon1,varepsilon2 são dadas por
varepsilon1 = 1El(sigma1 - nu,sigma2r), varepsilon2 = 1El(sigma2 - nu,sigma1r)
Convertendo tensões para GPa ( 1,MPa=10^-3,GPa):
sigma1=0,31213,GPa, sigma2=-0,11213,GPa.
Calcula-se
varepsilon1 = 0,31213 - 0,33cdot(-0,11213)72 = 0,31213 + 0,0370072 approx 4,85times10^-3,
varepsilon2 = -0,11213 - 0,33cdot0,3121372 = -0,11213 - 0,1020072 approx -2,98times10^-3

Resposta

As direções para colar os extensômetros são
thetap1=-22,5^circ (ou 337,5^circ) e
thetap2=67,5^circ em relação ao eixo x.
Os valores das deformações principais são
varepsilon1approx4,85times10^-3 e
varepsilon2approx-2,98times10^-3.

Exercícios relacionados