Seja a equação de um oscilador não linear dada por:
Determinar os pontos de equilíbrio do sistema, escrever as equações de evolução de pequenas perturbações em torno dos mesmos e encontrar os autovalores e autovetores da matriz do sistema linearizado em torno de cada ponto de equilíbrio.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação de um oscilador não linear
e pede três coisas:
- Determinar os pontos de equilíbrio do sistema.
- Escrever as equações de evolução de pequenas perturbações em torno de cada ponto de equilíbrio (linearizar o sistema).
- Encontrar os autovalores e autovetores da matriz do sistema linearizado em torno de cada ponto de equilíbrio.
Informações dadas que vamos usar (retiradas diretamente do enunciado):
- A equação dinâmica da variável
com parâmetro . - Não há outras condições iniciais;
é tratado como parâmetro real.
Passo 2
Transformar a equação de segunda ordem numa forma de sistema de primeira ordem (padrão para linearização). Definimos variáveis:
Então
Escrevendo em forma de sistema vetorial:
Passo 3
Encontrar os pontos de equilíbrio: são os
tais que
. Das componentes:
Com
a segunda equação fica
Assim há dois casos, dependendo de
:
- Se
: então . Logo existe um único ponto de equilíbrio:
- Se
: a condição fica para qualquer , desde que . Logo a família de equilíbrios é a reta
Passo 4
Explicar e calcular a linearização: para perturbações pequenas em torno de um equilíbrio
escrevemos
com
pequeno. A primeira ordem é
onde
é a matriz jacobiana das componentes de
. Vamos calcular o jacobiano geral.
As componentes são
e
. Derivando:
Para
:
Portanto o jacobiano geral é
Passo 5
Linearização no ponto de equilíbrio
(caso geral
qualquer): avaliar o jacobiano em
:
Logo as equações lineares para a perturbação
são
Em forma matricial:
Passo 6
Encontrar autovalores da matriz linearizada em
. Seja
O polinômio característico é
Assim os autovalores são as raízes de
:
É mais conveniente escrever em três subcasos:
- Se
: (autovalores puramente imaginários). - Se
: (auto-valor zero, multiplicidade 2). - Se
: escrevendo , (dois autovalores reais de sinais opostos).]
Passo 7
Calcular autovetores em
. Para um autovalor
resolvemos
. A primeira linha dá
, logo
Portanto um autovetor correspondente a
é
Concretizando:
- Se
com : - Se
com : - Se
: . Da equação , os autovetores têm a forma (subespaço próprio unidimensional). Como a multiplicidade algébrica é 2 mas o espaço próprio é 1‑dimensional, a matriz é defectiva; existe um vetor generalized tal que . Um escolha conveniente é porque .]
Passo 8
Interpretar os resultados em termos de estabilidade linear (dica prática para prova):
- Para
: autovalores puros imaginários . A linearização é a do oscilador harmônico linear; o ponto é linearmente um centro (movimento periódico linear). Linearmente neutro (não assintoticamente estável nem instável). Observação: a não linearidade pode mudar o comportamento (fazendo amortecimento ou crescimento não linear), então a conclusão completa exige análise não linear; mas linearmente é centro. - Para
: autovalores reais de sinais opostos . Ponto de sela linearmente instável. - Para
: autovalores nulos com cadeia de Jordan — comportamento não determinado por linearização simples (caso degenerado); é necessário estudar termos não lineares. Contudo, se e linearizarmos em um ponto da reta de equilíbrios com , há outros resultados (ver Passo 9).
Passo 9
Analisar o caso especial
linearizando ao redor de um equilíbrio genérico
com
. Avaliando o jacobiano geral em
com
:
O polinômio característico é
, logo
Então, para
mas linearizando em
com
, os autovalores são imaginários puros e o ponto se comporta linearmente como um centro (frequência
). Observe: esses pontos existem apenas quando
(pois só nesse caso existia a reta de equilíbrios).]
Passo 10
Resumo das fórmulas e dos autovetores (fórmulas prontas para a prova):
Matriz linearizada em
:
Autovalores:
Autovetores correspondentes (para qualquer
, avaliando
):
Caso
, para um equilíbrio
(qualquer
da reta de equilíbrios):
Resposta
Equilíbrios:\n
Se : o único ponto de equilíbrio é
.\n
Se : a família de equilíbrios é
.\n
Linearização em :\n
Se
Se
Linearização em
Autovalores em
:
(equivalente a
se
).\n
Autovetores correspondentes: para cada ,
Autovetores correspondentes: para cada
Caso especial
, linearização em
(com
): \n