(2,0) Determine o trabalho realizado pelo campo de força
para movimentar um objeto sobre um arco da ciclóide
.
Passo 1
O enunciado pede o trabalho realizado pelo campo de força
ao mover um objeto ao longo do arco da ciclóide
Informações dadas e perguntas explícitas:
- Campo de força:
. - Curva paramétrica (ciclóide):
, com parâmetro variando de a . - O que se pede: calcular o trabalho
realizado por ao longo dessa curva do ponto correspondente a até .
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas com calma):
- Definição de trabalho como integral de linha: se um corpo se desloca ao longo de uma curva parametrizada por
com , o trabalho é
Aqui
é o campo avaliado na posição da partícula,
é o vetor velocidade, e o ponto
é o produto escalar clássico (soma dos produtos das componentes correspondentes).
- Campos conservativos e função potencial: se o campo
é conservativo (isto é, existe uma função escalar tal que ), então o trabalho entre dois pontos depende só dos pontos finais e iniciais:
Isto simplifica muito o cálculo. Para verificar se um campo
em duas dimensões é conservativo num domínio apropriado, podemos checar a condição
Se isso vale e o domínio é simplesmente conexo, então
é conservativo e existe
com
e
.
Vou usar essa ideia por ser a mais prática aqui; depois faço o cálculo direto pela definição para confirmar.
Passo 3
Verificar se
é conservativo e encontrar a potencial:
-
Escrevendo
com e . -
Calcular
e : Como, o campo passa no teste (o domínio aqui é todo , que é simplesmente conexo), logo é conservativo. -
Encontrar
tal que .
Integrandoem relação a : ondeé função desconhecida de . Agora derivamos em relação a e igualamos a : Integrandoobtemos Assim uma potencial éConstantenão altera diferenças, então podemos tomar .
Passo 4
Calcular o trabalho usando a potencial (método mais curto):
- Primeiro identificar os pontos inicial e final da curva, usando
:
(Aqui usei
.)
- Aplicar a fórmula do potencial:
Avaliando :
Portanto
Passo 5
Verificação direta (opcional, mas instrutiva): cálculo pela integral de linha para conferir.
- Calcular
: - Avaliar
ao longo da curva: com e , - Produto escalar
: Agrupando os termos em : Portanto o integrando simplifica para - Integrar de
a : Calcular cada termo: Para usar integração por partes: . Avaliando entre e dá
E
Somando resulta , conforme a solução via potencial.