(2,0) Determine o trabalho realizado pelo campo de força \mathbf{F}(x, y)=x \mathbf{i}+(y+2) \mathbf{j} para movimentar um objeto sobre um arco da ciclóide \mathbf{r}(t)=(t-\operatorname{sen} t) \mathbf{i}+(1-\cos t) \mathbf{j}, 0 \leq t \leq 2 \pi.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado pelo campo de força \mathbf{F}(x,y)=x\,\mathbf{i}+(y+2)\,\mathbf{j} ao mover um objeto ao longo do arco da ciclóide
\mathbf{r}(t)=(t-\sin t)\,\mathbf{i}+(1-\cos t)\,\mathbf{j},\qquad 0\le t\le 2\pi.
Informações dadas e perguntas explícitas:
  • Campo de força: \mathbf{F}(x,y)=x\,\mathbf{i}+(y+2)\,\mathbf{j}.
  • Curva paramétrica (ciclóide): \mathbf{r}(t)=(t-\sin t,\,1-\cos t), com parâmetro t variando de 0 a 2\pi.
  • O que se pede: calcular o trabalho W realizado por \mathbf{F} ao longo dessa curva do ponto correspondente a t=0 até t=2\pi.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas com calma):
  1. Definição de trabalho como integral de linha: se um corpo se desloca ao longo de uma curva parametrizada por \mathbf{r}(t) com a\le t\le b, o trabalho é
W=\int_a^b \mathbf{F}\big(\mathbf{r}(t)\big)\cdot \mathbf{r}'(t)\,dt.
Aqui \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) é o campo avaliado na posição da partícula, \mathbf{r}'(t) é o vetor velocidade, e o ponto \cdot é o produto escalar clássico (soma dos produtos das componentes correspondentes).
  1. Campos conservativos e função potencial: se o campo \mathbf{F} é conservativo (isto é, existe uma função escalar \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}), então o trabalho entre dois pontos depende só dos pontos finais e iniciais:
W=\varphi(\text{final})-\varphi(\text{inicial}).
Isto simplifica muito o cálculo. Para verificar se um campo \mathbf{F}=(P(x,y),Q(x,y)) em duas dimensões é conservativo num domínio apropriado, podemos checar a condição
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0.
Se isso vale e o domínio é simplesmente conexo, então \mathbf{F} é conservativo e existe \varphi com \phi_x=P e \phi_y=Q.
Vou usar essa ideia por ser a mais prática aqui; depois faço o cálculo direto pela definição para confirmar.

Passo 3

Verificar se \mathbf{F} é conservativo e encontrar a potencial:
  • Escrevendo \mathbf{F}=(P,Q) com P(x,y)=x e Q(x,y)=y+2.
  • Calcular \dfrac{\partial Q}{\partial x} e \dfrac{\partial P}{\partial y}:
    \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(y+2)=0,\qquad \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x)=0.
    Como \dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}=0, o campo passa no teste (o domínio aqui é todo \mathbb{R}^2, que é simplesmente conexo), logo \mathbf{F} é conservativo.
  • Encontrar \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=(\phi_x,\phi_y)=(x,\,y+2).
    Integrando \phi_x=x em relação a x:
    \varphi(x,y)=\int x\,dx=\tfrac{1}{2}x^2 + g(y),
    onde g(y) é função desconhecida de y. Agora derivamos em relação a y e igualamos a \phi_y:
    \phi_y = g'(y) \stackrel{!}{=} y+2.
    Integrando g'(y)=y+2 obtemos
    g(y)=\int (y+2)\,dy=\tfrac{1}{2}y^2+2y + C.
    Assim uma potencial é
    \varphi(x,y)=\tfrac{1}{2}x^2+\tfrac{1}{2}y^2+2y + C.
    Constante C não altera diferenças, então podemos tomar C=0.

Passo 4

Calcular o trabalho usando a potencial (método mais curto):
  • Primeiro identificar os pontos inicial e final da curva, usando \mathbf{r}(t): \mathbf{r}(0)=(0-\sin 0,\,1-\cos 0)=(0,0),
\mathbf{r}(2\pi)=(2\pi-\sin 2\pi,\,1-\cos 2\pi)=(2\pi,0).
(Aqui usei \sin 0=0,\\ \cos 0=1,\\ \sin 2\pi=0,\\ \cos 2\pi=1.)
  • Aplicar a fórmula do potencial: W=\varphi(\mathbf{r}(2\pi))-\varphi(\mathbf{r}(0)).Avaliando \varphi: \varphi(2\pi,0)=\tfrac{1}{2}(2\pi)^2+\tfrac{1}{2}(0)^2+2\cdot 0 = \tfrac{1}{2}\cdot 4\pi^2 = 2\pi^2,
\varphi(0,0)=0.
Portanto
W=2\pi^2-0=2\pi^2.

Passo 5

Verificação direta (opcional, mas instrutiva): cálculo pela integral de linha para conferir.
  • Calcular \mathbf{r}'(t): \mathbf{r}'(t)=(1-\cos t)\,\mathbf{i}+(\sin t)\,\mathbf{j}.
  • Avaliar \mathbf{F} ao longo da curva: com x=t-\sin t e y=1-\cos t, \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=\big(t-\sin t\big)\,\mathbf{i}+\big(1-\cos t+2\big)\,\mathbf{j} = (t-\sin t)\,\mathbf{i}+(3-\cos t)\,\mathbf{j}.
  • Produto escalar \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t): \begin{aligned} \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) &= (t-\sin t)(1-\cos t) + (3-\cos t)\sin t \\\ &= t(1-\cos t) -\sin t(1-\cos t) +3\sin t -\cos t\sin t. \end{aligned}Agrupando os termos em \sin t: -\sin t(1-\cos t)+3\sin t -\cos t\sin t = -\sin t +\sin t\cos t +3\sin t -\sin t\cos t = 2\sin t.Portanto o integrando simplifica para \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)= t(1-\cos t)+2\sin t.
  • Integrar de 0 a 2\pi: W=\int_0^{2\pi}\big(t(1-\cos t)+2\sin t\big)\,dt =\int_0^{2\pi} t\,dt -\int_0^{2\pi} t\cos t\,dt +2\int_0^{2\pi}\sin t\,dt.Calcular cada termo: \int_0^{2\pi} t\,dt = \tfrac{1}{2}t^2\Big|_0^{2\pi}=2\pi^2.Para \int_0^{2\pi} t\cos t\,dt usar integração por partes: \int t\cos t\,dt = t\sin t +\cos t. Avaliando entre 0 e 2\pi (2\pi\sin 2\pi +\cos 2\pi) - (0\cdot 0 +\cos 0)=1-1=0.
    E \int_0^{2\pi}\sin t\,dt =[-\cos t]_0^{2\pi} = -\cos 2\pi +\cos 0 = -1+1=0.
    Somando resulta W=2\pi^2-0+2\cdot 0 = 2\pi^2, conforme a solução via potencial.

Resposta

2\pi^2

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