Seja uma esfera de raio R carregada com densidade volumétrica de carga
em que
é uma constante.
Tome o rotacional deste campo
. Verifique que é um campo conservativo.
Tome o rotacional deste campo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre uma esfera de raio $ R $ que está carregada de forma que a densidade volumétrica de carga varia com a distância ao centro, ou seja, $ \rho® = k r $, onde $ k $ é uma constante. A gente precisa calcular o rotacional do campo elétrico $ \vec{E} $ e mostrar que esse campo é conservativo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como a Lei de Gauss, e propriedades dos campos vetoriais, especificamente o rotacional.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o campo elétrico $ \vec{E} $ dentro da esfera. Para isso, usamos a Lei de Gauss, que nos diz que:
Aqui, $ Q_{enc} $ é a carga total dentro de uma superfície gaussiana de raio $ r \leq R $.
Como a densidade de carga é $ \rho® = k r $, a carga total dentro de um raio $ r $ é:
Agora, aplicando a Lei de Gauss:
Então, o campo elétrico dentro da esfera é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o rotacional de $ \vec{E} $, ou seja, $ \nabla \times \vec{E} $. Em coordenadas esféricas, para um campo radial $ \vec{E} = E_r® \hat{r} $, o rotacional é dado por:
Mas no nosso caso, $ E_\theta = E_\phi = 0 $ porque o campo é apenas radial. Isso simplifica o rotacional para zero:
Resposta
Portanto, o rotacional de $ \vec{E} $ é zero, o que confirma que o campo elétrico é conservativo.