Seja uma esfera de raio R carregada com densidade volumétrica de carga rho(r)= k r em que k é uma constante.
Calcule o potencial dentro e fora da esfera.

Passo 1

Beleza! A gente tem uma esfera de raio V(b)-V(a) ;=; -integrala^b !E(r),dr com densidade de carga que varia com a distância ao centro, . O que a gente precisa usar é a Lei de Gauss pra achar o campo elétrico (porque a esfera é simétrica) e depois relacionar com o potencial via
Depois, escolhemos como referência.

Passo 2

Primeiro a gente calcula a carga total “dentro” de um raio qualquer Qrm int(r) =integral0^r rho(r'),4pi r'^2,dr' =4pi kintegral0^r r',r'^2,dr' =4pi kintegral0^rr'^3dr' =pi k,r^4 . Para isso, integra a densidade no volume de uma esfera de raio :

Passo 3

Agora aplica a Lei de Gauss:
oint Ecdot dA = Qrm int(r)varepsilon0 Longrightarrow E(r),4pi r^2 = pi k,r^4varepsilon0 Rightarrow Erm in(r)=k,r^24varepsilon0, r<= R

Passo 4

Para Qrm tot=Qrm int(R)=pi k,R^4, , a carga total da esfera é
Erm out(r),4pi r^2 =Qrm totvarepsilon0 ;Longrightarrow; Erm out(r)=k,R^44varepsilon0,r^2, r>R
e a Lei de Gauss dá

Passo 5

Potencial fora ( Vrm out(r) =-integralinfty^r Erm out(r'),dr' =-integralinfty^r k,R^44varepsilon0,r'^2,dr' =k,R^44varepsilon0,r ), tomando :

Passo 6

Potencial dentro ( Vrm in(r) =V(R)-integralR^r Erm in(r'),dr' =kR^34varepsilon0 -integralR^r k,r'^24varepsilon0dr' =kR^34varepsilon0 -k4varepsilon0,r^3 - R^33 ):
  1. Primeiro achamos Vrm in(r) =k12varepsilon0l(4R^3 - r^3r) na superfície, .
  2. Depois integramos de até :
Fazendo as contas dá

Resposta

Potencial elétrico
boxed V(r)= dfrack12varepsilon0,l(4R^3 - r^3r), & r<= R,[6pt] dfrack,R^44varepsilon0,r, & r>R

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