Seja uma esfera de raio R carregada com densidade volumétrica de carga
em que
é uma constante.
Calcule o potencial dentro e fora da esfera.
Calcule o potencial dentro e fora da esfera.
Passo 1
Beleza! A gente tem uma esfera de raio
com densidade de carga que varia com a distância ao centro,
. O que a gente precisa usar é a Lei de Gauss pra achar o campo elétrico
(porque a esfera é simétrica) e depois relacionar
com o potencial
via
Depois, escolhemos
como referência.
Passo 2
Primeiro a gente calcula a carga total “dentro” de um raio qualquer
. Para isso, integra a densidade no volume de uma esfera de raio
:
Passo 3
Agora aplica a Lei de Gauss:
Passo 4
Para
, a carga total da esfera é
e a Lei de Gauss dá
Passo 5
Potencial fora (
), tomando
:
Passo 6
Potencial dentro (
):
- Primeiro achamos
na superfície, . - Depois integramos de
até :
Fazendo as contas dá
Resposta
Potencial elétrico