Seja
e
o
-ésimo polinômio de Taylor de
ao redor de
. Seja
o erro que se comete para aproximar
por
em
. Se
, podemos afirmar que:
A
.
B Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
C
.
(
.
.
A
B Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
C
(
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função $ f(x) = e^{-x} $ e queremos aproximá-la usando o polinômio de Taylor de ordem $ n $ em torno de $ x = 1 $. O erro dessa aproximação é dado por $ E_n = |f(x) - P_n(x)| $ no intervalo $ ]0,2[ $. A questão nos pergunta qual das alternativas é verdadeira se o erro $ E_n $ for menor que $ 10^{-7} $.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
- Polinômio de Taylor: uma forma de aproximar funções usando polinômios.
- Erro da aproximação: diferença entre a função original e o polinômio de Taylor.
- Fatorial ($ n! $): produto de todos os inteiros positivos até $ n $.
Passo 2
Vamos começar lembrando o que é o polinômio de Taylor. O polinômio de Taylor de ordem $ n $ para uma função $ f(x) $ em torno de um ponto $ a $ é dado por:
O erro $ E_n $ na aproximação é dado pelo termo de resto, que para funções suaves pode ser estimado por:
onde $ c $ está entre $ a $ e $ x $.
Passo 3
No nosso caso, $ f(x) = e^{-x} $ e estamos expandindo em torno de $ a = 1 $. Então, o erro fica:
Primeiro, vamos calcular a derivada de ordem $ n+1 $ de $ f(x) $:
Portanto:
Além disso, como $ x $ está no intervalo $ ]0,2[ $, $ |x - 1| \leq 1 $.
Então, podemos estimar o erro máximo:
Passo 4
Queremos que esse erro seja menor que $ 10^{-7} $:
Agora, precisamos encontrar qual das alternativas corresponde a essa condição.
Passo 5
Vamos analisar as alternativas:
A) $ (n+3)! > 10^{7} $
B) Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
C) $ n! > 10^{7} $
D) $ (n+1)! > 10^{7} $
E) $ (n+2)! > 10^{7} $
B) Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
C) $ n! > 10^{7} $
D) $ (n+1)! > 10^{7} $
E) $ (n+2)! > 10^{7} $
Conforme nosso cálculo, a condição correta é $ (n+1)! > 10^{7} $, que corresponde à alternativa D.
Resposta
D $ (n+1)! > 10^{7} $.