Seja f(x)=e^-x e Pn(x) o n-ésimo polinômio de Taylor de f ao redor de x=1. Seja En=|f(x)-Pn(x)| o erro que se comete para aproximar f por Pn em ] 0,2[. Se En<10^-7, podemos afirmar que:
A (n+3)!>10^7.
B Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
C n!>10^7.
( n+1)!>10^7.
E(n+2)!>10^7.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função $ f(x) = e^{-x} $ e queremos aproximá-la usando o polinômio de Taylor de ordem $ n $ em torno de $ x = 1 $. O erro dessa aproximação é dado por $ E_n = |f(x) - P_n(x)| $ no intervalo $ ]0,2[ $. A questão nos pergunta qual das alternativas é verdadeira se o erro $ E_n $ for menor que $ 10^{-7} $.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
  • Polinômio de Taylor: uma forma de aproximar funções usando polinômios.
  • Erro da aproximação: diferença entre a função original e o polinômio de Taylor.
  • Fatorial ($ n! $): produto de todos os inteiros positivos até $ n $.

Passo 2

Vamos começar lembrando o que é o polinômio de Taylor. O polinômio de Taylor de ordem $ n $ para uma função $ f(x) $ em torno de um ponto $ a $ é dado por:
n
O erro $ E_n $ na aproximação é dado pelo termo de resto, que para funções suaves pode ser estimado por:
f(x)
onde $ c $ está entre $ a $ e $ x $.

Passo 3

No nosso caso, $ f(x) = e^{-x} $ e estamos expandindo em torno de $ a = 1 $. Então, o erro fica:
f(x) = e^-x
Primeiro, vamos calcular a derivada de ordem $ n+1 $ de $ f(x) $:
a = 1
Portanto:
En = | f^(n+1)(c)(n+1)! (x - 1)^n+1 |
Além disso, como $ x $ está no intervalo $ ]0,2[ $, $ |x - 1| \leq 1 $.
Então, podemos estimar o erro máximo:
n+1

Passo 4

Queremos que esse erro seja menor que $ 10^{-7} $:
10^-7
Agora, precisamos encontrar qual das alternativas corresponde a essa condição.

Passo 5

Vamos analisar as alternativas:
A) $ (n+3)! > 10^{7} $
B) Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
C) $ n! > 10^{7} $
D) $ (n+1)! > 10^{7} $
E) $ (n+2)! > 10^{7} $
Conforme nosso cálculo, a condição correta é $ (n+1)! > 10^{7} $, que corresponde à alternativa D.

Resposta

D $ (n+1)! > 10^{7} $.

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