Considere a série
e assinale a alternativa que melhor se aplica a esta série.
A A série converge para uma função
ímpar e conínua em
.
B A série converge para uma função
ímpar e conínua em
.
Nenhuma das outras afirmações é verdadeira.
D A série converge para uma função
ímpar e conínua por partes em
.
E A série converge para uma função
ímpar e conínua por partes em
.
A A série converge para uma função
B A série converge para uma função
Nenhuma das outras afirmações é verdadeira.
D A série converge para uma função
E A série converge para uma função
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você enviou. A gente está analisando a série infinita
E precisamos descobrir qual das alternativas apresentadas melhor descreve essa série. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries de Fourier, convergência de séries trigonométricas e as propriedades das funções resultantes, como serem ímpares e contínuas em certos intervalos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier é uma forma de expressar funções periódicas como somas de senos e cossenos. No nosso caso, temos apenas termos de senos, o que já nos dá uma dica de que a função resultante pode ser ímpar, já que funções ímpares são representadas por séries de senos.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se a série converge e, se converge, para que tipo de função. A série dada é
Para analisar a convergência, podemos usar o teste de Dirichlet para séries de Fourier. Esse teste ajuda a determinar a convergência de séries trigonométricas como a nossa. Uma condição importante para a convergência pela série de Dirichlet é que os coeficientes $ \frac{1}{\sqrt{k}} $ diminuam monotonamente para zero, o que é verdade nesse caso.
Passo 4
Além disso, sabemos que séries de Fourier com coeficientes que satisfazem certas condições (como o teste de Dirichlet) convergem para a função que estão representando em todos os pontos onde a função é contínua. Se a função tiver pontos de descontinuidade, a série converge para a média dos limites laterais nesses pontos.
Passo 5
Como nossos termos são apenas de senos e os coeficientes $ \frac{1}{\sqrt{k}} $ decaem para zero, a série converge para uma função ímpar. Sobre a continuidade, a função será contínua onde a série converge de forma uniforme, o que acontece no intervalo aberto $ (-\pi, \pi) $. Nos pontos finais $ -\pi $ e $ \pi $, podemos ter descontinuidades dependendo do comportamento da função.
Passo 6
Então, juntando tudo: a série converge para uma função ímpar e contínua no intervalo aberto $ (-\pi, \pi) $, mas nos extremos $ -\pi $ e $ \pi $ pode não ser contínua. Isso significa que a afirmação correta é aquela que diz que a série converge para uma função ímpar e contínua em $ (-\pi, \pi) $.
Resposta
A alternativa A está correta: A série converge para uma função $ f(x) $ ímpar e contínua em $ (-\pi, \pi) $.