Considere a série
sumk=1^infty sin (k x)raizk
e assinale a alternativa que melhor se aplica a esta série.
A A série converge para uma função f(x) ímpar e conínua em (-pi, pi).
B A série converge para uma função f(x) ímpar e conínua em [-pi, pi].
Nenhuma das outras afirmações é verdadeira.
D A série converge para uma função f(x) ímpar e conínua por partes em [-pi, pi].
E A série converge para uma função f(x) ímpar e conínua por partes em (-pi, pi).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você enviou. A gente está analisando a série infinita
sumk=1^infty sin(kx)raizk
E precisamos descobrir qual das alternativas apresentadas melhor descreve essa série. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries de Fourier, convergência de séries trigonométricas e as propriedades das funções resultantes, como serem ímpares e contínuas em certos intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier é uma forma de expressar funções periódicas como somas de senos e cossenos. No nosso caso, temos apenas termos de senos, o que já nos dá uma dica de que a função resultante pode ser ímpar, já que funções ímpares são representadas por séries de senos.

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a série converge e, se converge, para que tipo de função. A série dada é
sumk=1^infty sin(kx)raizk
Para analisar a convergência, podemos usar o teste de Dirichlet para séries de Fourier. Esse teste ajuda a determinar a convergência de séries trigonométricas como a nossa. Uma condição importante para a convergência pela série de Dirichlet é que os coeficientes $ \frac{1}{\sqrt{k}} $ diminuam monotonamente para zero, o que é verdade nesse caso.

Passo 4

Além disso, sabemos que séries de Fourier com coeficientes que satisfazem certas condições (como o teste de Dirichlet) convergem para a função que estão representando em todos os pontos onde a função é contínua. Se a função tiver pontos de descontinuidade, a série converge para a média dos limites laterais nesses pontos.

Passo 5

Como nossos termos são apenas de senos e os coeficientes $ \frac{1}{\sqrt{k}} $ decaem para zero, a série converge para uma função ímpar. Sobre a continuidade, a função será contínua onde a série converge de forma uniforme, o que acontece no intervalo aberto $ (-\pi, \pi) $. Nos pontos finais $ -\pi $ e $ \pi $, podemos ter descontinuidades dependendo do comportamento da função.

Passo 6

Então, juntando tudo: a série converge para uma função ímpar e contínua no intervalo aberto $ (-\pi, \pi) $, mas nos extremos $ -\pi $ e $ \pi $ pode não ser contínua. Isso significa que a afirmação correta é aquela que diz que a série converge para uma função ímpar e contínua em $ (-\pi, \pi) $.

Resposta

A alternativa A está correta: A série converge para uma função $ f(x) $ ímpar e contínua em $ (-\pi, \pi) $.

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