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Seja V o espaço vetorial das matrizes de ordem 2 triangulares superiores. Sejam \alpha=\left\{\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right)\right\} e \beta=\left\{\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 1\end{array}\right)\right\} duas bases de V. Encontre (M)_{\alpha}^{\beta}.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V das matrizes 2\times2 triangulares superiores e dá duas bases
\alpha=\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\} e \beta=\{b_1,b_2,b_3\}. Queremos a matriz de mudança de base
(M)_{\alpha}^{\beta} tal que, para todo v\in V,
[v]_{\beta} = (M)_{\alpha}^{\beta}\,[v]_{\alpha}.

Passo 2

Identificamos os vetores da base \beta:
b_{1} = \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix},\quad b_{2} = \begin{pmatrix}1&1\\\ 0&0\end{pmatrix},\quad b_{3} = \begin{pmatrix}1&1\\\ 0&1\end{pmatrix}.

Passo 3

Para \alpha_{1} = \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix}, vemos imediatamente
\alpha_{1} = b_{1},
logo suas coordenadas em \beta são (1,0,0).

Passo 4

Para \alpha_{2} = \begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix}, usamos
b_{2} = b_{1} + \alpha_{2} \;\Longrightarrow\; \alpha_{2} = b_{2} - b_{1},
portanto as coordenadas são (-1,1,0).

Passo 5

Para \alpha_{3} = \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}, notamos
b_{3} = b_{2} + \alpha_{3} \;\Longrightarrow\; \alpha_{3} = b_{3} - b_{2},
de modo que as coordenadas são (0,-1,1).

Passo 6

Colocando as coordenadas de \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3} como colunas, obtemos
(M)_{\alpha}^{\beta} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\\\ 0 & 1 & -1\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

(M)_{\alpha}^{\beta} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\\\ 0 & 1 & -1\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

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