Seja V um espaço vetorial real com produto interno
,
a.
a.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para mostrar que, em um espaço vetorial real com produto interno
, a norma do vetor
ao quadrado é igual à soma das normas de
e
ao quadrado mais duas vezes o produto interno de
e
. Ou seja, queremos provar que:
Para isso, vamos precisar entender o que é produto interno e como ele se relaciona com a norma de um vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor
em um espaço vetorial com produto interno é definida por:
Então, a norma ao quadrado de
é simplesmente:
Aplicando isso ao vetor
, temos:
Passo 3
Agora, vamos expandir o produto interno de
com ele mesmo. Lembrando que o produto interno é bilinear, ou seja, respeita a distribuição sobre a adição e a multiplicação por escalar. Então:
Passo 4
Sabemos que, em espaços vetoriais reais, o produto interno é simétrico. Isso significa que
. Portanto, podemos simplificar a expressão anterior:
Passo 5
Voltando à definição da norma ao quadrado, temos:
Substituindo na expressão expandida, fica:
Resposta
Então, demonstramos que: