Seja
contínua em
, diferenciável em
, com
e
. Prove que existe um ponto no gráfico de
em que a reta tangente é paralela à reta
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A função
é definida em . -
é contínua em e diferenciável em . -
e .
O que o enunciado pede:
- Mostrar que existe um ponto no gráfico de
onde a reta tangente é paralela à reta .
Passo 2
Entender o que significa "reta tangente ser paralela à reta
".
- A reta
tem coeficiente angular (inclinação) igual a . - A reta tangente ao gráfico de
no ponto tem coeficiente angular igual a (definição de derivada como inclinação da tangente). - Portanto, a tangente em
será paralela a exatamente quando
Logo o problema reduz-se a provar que existe
tal que
.
Passo 3
Calcular o coeficiente angular da secante que liga os pontos extremos do intervalo.
A inclinação da secante que passa por
e
é
Portanto a inclinação da secante entre os extremos é
.
Passo 4
Apresentar e explicar a ideia-chave (teorema que vamos usar) de forma didática.
Fato útil (forma prática do Teorema do Valor Médio que será usada aqui):
Se uma função é contínua em
e diferenciável em
, então existe
tal que
Se uma função
Intuição: o teorema diz que em algum ponto interior a inclinação da tangente coincide com a inclinação da secante que liga os extremos. Ou seja, a curva em algum ponto “tem a mesma inclinação média” que a linha entre os extremos.
Breve prova (construtiva, baseada em Rolle):
- Defina a inclinação da secante
. - Considere a função auxiliar
. Então
- Como
foi escolhido exatamente para ser a inclinação da secante, tem-se . - A função
é contínua em e diferenciável em (pois tem essas propriedades e é diferenciável). - Aplicando o Teorema de Rolle a
(que garante um ponto onde é zero quando ), existe tal que . - Mas
, logo implica . - Assim existe
com , ou seja, a derivada em algum ponto iguala a inclinação da secante.
Passo 5
Verificar que as hipóteses do teorema estão satisfeitas pelo problema.
- O enunciado afirma que
é contínua em e diferenciável em . Portanto as hipóteses necessárias para aplicar o teorema do passo anterior estão satisfeitas. - Já calculamos que a inclinação da secante entre os extremos é
.
Passo 6
Aplicar o teorema e concluir.
Pelo argumento do passo anterior, existe
tal que
Como
, a reta tangente ao gráfico de
no ponto
tem coeficiente angular
, portanto é paralela à reta
.