Seja f:[-1,2] \rightarrow \mathbb{R} contínua em [-1,2], diferenciável em (-1,2), com f(-1)=-1 e f(2)=5. Prove que existe um ponto no gráfico de f em que a reta tangente é paralela à reta y=2 x.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A função f é definida em [-1,2].
  • f é contínua em [-1,2] e diferenciável em (-1,2).
  • f(-1)=-1 e f(2)=5.
O que o enunciado pede:
  • Mostrar que existe um ponto no gráfico de f onde a reta tangente é paralela à reta y=2x.

Passo 2

Entender o que significa "reta tangente ser paralela à reta y=2x".
  • A reta y=2x tem coeficiente angular (inclinação) igual a 2.
  • A reta tangente ao gráfico de f no ponto (c,f\text{(c)}) tem coeficiente angular igual a f'\text{(c)} (definição de derivada como inclinação da tangente).
  • Portanto, a tangente em (c,f\text{(c)}) será paralela a y=2x exatamente quando
f'\text{(c)}=2.
Logo o problema reduz-se a provar que existe c\in(-1,2) tal que f'\text{(c)}=2.

Passo 3

Calcular o coeficiente angular da secante que liga os pontos extremos do intervalo.
A inclinação da secante que passa por (-1,f(-1)) e (2,f(2)) é
\frac{f(2)-f(-1)}{2-(-1)}=\frac{5-(-1)}{3}=\frac{6}{3}=2.
Portanto a inclinação da secante entre os extremos é 2.

Passo 4

Apresentar e explicar a ideia-chave (teorema que vamos usar) de forma didática.
Fato útil (forma prática do Teorema do Valor Médio que será usada aqui):
Se uma função f é contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b), então existe c\in(a,b) tal que
f'\text{(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.
Intuição: o teorema diz que em algum ponto interior a inclinação da tangente coincide com a inclinação da secante que liga os extremos. Ou seja, a curva em algum ponto “tem a mesma inclinação média” que a linha entre os extremos.
Breve prova (construtiva, baseada em Rolle):
  • Defina a inclinação da secante s=\dfrac{f(2)-f(-1)}{2-(-1)}.
  • Considere a função auxiliar g(x)=f(x)-s x. Então
g(2)=f(2)-s\cdot 2,\qquad g(-1)=f(-1)-s\cdot(-1).
  • Como s foi escolhido exatamente para ser a inclinação da secante, tem-se g(2)=g(-1).
  • A função g é contínua em [-1,2] e diferenciável em (-1,2) (pois f tem essas propriedades e sx é diferenciável).
  • Aplicando o Teorema de Rolle a g (que garante um ponto onde g' é zero quando g(2)=g(-1)), existe \xi\in(-1,2) tal que g'(\xi)=0.
  • Mas g'(x)=f'(x)-s, logo g'(\xi)=0 implica f'(\xi)=s.
  • Assim existe \xi\in(-1,2) com f'(\xi)=s, ou seja, a derivada em algum ponto iguala a inclinação da secante.

Passo 5

Verificar que as hipóteses do teorema estão satisfeitas pelo problema.
  • O enunciado afirma que f é contínua em [-1,2] e diferenciável em (-1,2). Portanto as hipóteses necessárias para aplicar o teorema do passo anterior estão satisfeitas.
  • Já calculamos que a inclinação da secante entre os extremos é s=2.

Passo 6

Aplicar o teorema e concluir.
Pelo argumento do passo anterior, existe c\in(-1,2) tal que
f'\text{(c)}=\frac{f(2)-f(-1)}{2-(-1)}=2.
Como f'\text{(c)}=2, a reta tangente ao gráfico de f no ponto (c,f\text{(c)}) tem coeficiente angular 2, portanto é paralela à reta y=2x.

Resposta

\exists c\in(-1,2) tal que f'\text{(c)}=2.

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